Звіримо годинники • Айк Акопян • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Звіримо годинники

Що відбувається зі старою фізичною моделлю, коли з'являється нова більш загальна, яка описує світ набагато точніше? Щоб це питання не здавався занадто абстрактним, давайте розглянемо конкретний приклад: що сталося з теорією гравітації Ньютона, коли з'явилася загальна теорія відносності Ейнштейна?

Наприклад, закон всесвітнього тяжіння чудово описував рух небесних світил до тих пір, поки не з'явилися дані про аномальну прецесії орбіти Меркурія. А оскільки, очевидно, світ функціонує (зокрема, планети обертаються навколо Сонця) без оглядки на те, якими законами люди намагаються його описувати, виходить, що у законів і теорій є межі застосування: в якихось випадках стара теорія все ж працює, а в якихось вже доводиться застосовувати розрахунки в рамках нової теорії. Як же відрізнити одні випадки від інших? Іноді виявляється, що можна ввести який-небудь параметр, який вказує на можливість застосування тієї чи іншої теорії. І у випадку з гравітацією зробити це досить просто.

Якщо ви перебуваєте на відстані R від деякого тіла з масою M, То ефектами ОТО в цілому можна знехтувати, якщо параметр ε = rg/R буде "багато менше" 1 (ε«1), де rg = 2GM/c2 – гравітаційний радіус. Такого роду "малі параметри" у фізиці зустрічаються часто-густо – іноді фізику навіть називають "наукою малих параметрів".

значення rg показує характерне відстань, на яке треба наблизитися до точкового об'єкту маси M, Щоб ефекти ОТО стали значними. Хоча, як ми побачимо в післямові, наблизитися саме на таку відстань насправді неможливо.

Наприклад, на поверхні Землі цей параметр можна легко оцінити, підставивши замість M масу Землі, а замість R – її радіус. Гравітаційний радіус для Землі становить всього лише 8,9 мм, і наш малий параметр ε для людини на поверхні Землі дорівнює приблизно 1,5 × 10−9, Що, звичайно, значно менше 1. Тобто з непоганою точністю ефектами ОТО можна нехтувати в розрахунках, де велика точність не потрібна.

З іншого боку, на поверхні, скажімо, нейтронної зірки з масою 1,5 маси Сонця і радіусом 10 км параметр ε дорівнює 0,4 (перевірте це), тобто ефекти ОТО будуть вносити значний вклад.

Але виявляється, цей параметр може не тільки вказувати на важливість або неважливості ефектів ОТО: він годиться і для того, щоб усе своєю чергою величини оцінювати чисельне значення цих ефектів. Наприклад, точно відомо, що в рамках загальної теорії відносності передбачається відхилення світла через гравітації важкого об'єкта. Перевірити цей ефект можна під час сонячного затемнення: тоді можна розрізнити зірки поруч з диском Сонця, світло від яких воно відхиляє. Але потрібно хоча б приблизно знати, наскільки точні кутові вимірювання потрібно зробити, тобто – наскільки великим повинен бути ефект відхилення. Якщо відповідь потрібен не точний, а наближений по порядку величини, то можна користуватися тим самим параметром, щоб знайти приблизний кут відхилення.

Візьмемо в якості маси M масу Сонця, а в якості відстані R – довжину найменшого відстані від пролітає фотона до центру Сонця – тобто просто радіус Сонця. Гравітаційний радіус Сонця дорівнює 3 км, а малий параметр ε виходить рівним 4,2 × 10−6. Цей параметр як раз по порядку величини дорівнює куту відхилення світла (в радіанах) – приблизно 0,88 кутової секунди. Насправді, якщо все порахувати чесно в рамках ОТО, то реальне значення вийде в два рази більше – 1,75 кутової секунди, і це значення було підтверджено Еддінгтоном під час його експедиції на острів Прінсіпі в 1919 році.

Фотографія Сонця під час повного затемнення, зроблена Еддінгтоном під час експедиції на острів Прінсіпі 29 травня 1919 року. Тонкими білими горизонтальними лініями відзначені зірки, відхилення світла яких розглядав Еддінгтон. Якщо роздрукувати цю фотографію розміром з аркуш A4, то відхилення положень зірок через гравітації Сонця складе менше десятої частини міліметра. Фото з сайту en.wikipedia.org

Можна переформулювати наше емпіричне твердження: чисельне значення ефектів загальної теорії відносності можна по порядку величини оцінити за допомогою малого параметра ε. При цьому, від результату суворого (тобто довго і клопітно) виведення в рамках ОТО відповідь буде відрізнятися не сильно і збігатися з реальним значенням по порядку величини (звичайно, якщо ε«1). Таким чином, щоб приблизно прикидати чисельні ефекти ОТО, вам зовсім не обов'язково володіти досить громіздким математичним апаратом загальної теорії відносності, а досить користуватися малим параметром.

Давайте розглянемо інший класичний ефект. Відомо, що в рамках ньютонівської гравітації в разі обертання одного тіла навколо іншого, орбіти мають строго еліптичну форму, яка не змінюється з часом.Однак, як ми вже згадували на самому початку, вже в XIX столітті люди знали, що орбіта Меркурія злегка прецессирует, повертаючись приблизно на 570 кутових секунд за століття.

Система Сонце – Меркурій не ізольована: є й інші планети. Але їх впливом можна пояснити обертання приблизно на 527 кутових секунд за століття. А ось звідки беруться залишилися 43 кутових секунди, в XIX столітті так і не вдалося пояснити. Пояснення вдалося дати пізніше, в рамках загальної теорії відносності (і це стало одним з вагомих аргументів на підтримку ОТО). Чому це сталося саме з Меркурієм досить зрозуміло: ця планета знаходиться близько до Сонця, а, як ми бачили вище, малий параметр ε обернено пропорційний відстані R, І чим менше R, Тим більше ε.

Давайте оцінимо по порядку величини поправку ОТО для цього випадку. Як маси візьмемо, знову ж таки, масу Сонця, а в якості відстані – велика піввісь орбіти Меркурія. Тоді малий параметр буде дорівнює ε = 5,1 × 10−8. За один період Меркурій "пролітає" кут 2π радіан, поправка до якого дорівнює 2πε. Це саме той додатковий кут, на який повертається орбіта за один період Меркурія.За століття (в земних роках) орбіта повертається на

\ [\ Delta \ varphi = 2 \ pi \ varepsilon \ cdot \ frac {100 ~ \ text {років}} {P _ {\ rm Меркурій}} = 1,3 \ times10 ^ {- 4} = 27,44 ". \]

Один по одному величини це, дійсно, таке саме, як 43. Але якщо, знову ж таки, чесно порахувати в рамках ОТО, то вийде відповідь, що співпадає з даними спостережень.

завдання

Уявімо тепер, що ви хочете відправити супутник зв'язку на орбіту висотою 400 км. Оскільки ефекти ОТО впливають на те, як час тече на різних відстанях від Землі, то на орбіті буде деяка затримка годин відносно поверхні Землі.

Ви хочете зрозуміти, про яку затримку йдеться, хоча б по одному величини, використовуючи "метод малого параметра", який обговорювався вище. Прийнявши радіус Землі рівним 6378 км, оціните виникає різницю між спочатку синхронізованими годинами на супутнику, літаючому на висоті 400 км, і на наземній станції. Виразіть відповідь в секундах за сторіччя.


Підказка 1

Земне тяжіння впливає і на станцію, і на супутник. Однак параметр ε буде різним для цих двох випадків, так як відстані до центру Землі різні.


Підказка 2

Можна спершу обчислити затримку годин в обох випадках щодо «нескінченно віддаленого спостерігача», який не схильний до впливу гравітації Землі.Подумайте, як ця затримка пов'язана з кожним з двох значень параметра ε з попередньої підказки.


Рішення

Очевидно, що для спостерігача, який нескінченно віддалений від Землі, ніякого гравітаційного уповільнення часу через її тяжіння немає. Тому годинник, що знаходяться дуже далеко, ми і будемо брати в якості еталонних.

Якщо використовувати оцінку через малий параметр, то годинник на поверхні Землі будуть відставати щодо нескінченно віддалених: одна секунда на Землі відповідає 1 – rg/RЗ секунд у нескінченно далекого спостерігача, де rg – гравітаційний радіус Землі, а RЗ – фізичний радіус Землі, тобто відстань від центру Землі, на якому знаходяться перші години. Аналогічна величина для супутника щодо того ж нескінченно віддаленого спостерігача буде дорівнює 1 – rg/(RЗ+400).

Таким чином, затримку годин на Землі щодо годин на орбіті супутника можна оцінити як

\ [\ Frac {\ Delta t} % = \ varepsilon '= \ frac {r_g} {R _ {\ text {З}}} – \ frac {r_g} {R _ {\ text {З}} + 400} . \]

Затримку годин за 100 років можна дізнатися, помноживши це число на t = 100 років і для зручності перевівши Δt в секунди. Вийде приблизно 0,3 секунди за 100 років, тобто за один рік годинник на супутнику будуть відставати щодо годин на Землі приблизно на 3 мілісекунди.Якщо ж порахувати чесно за всіма канонами ОТО, вийде приблизно в 3 рази більше – наша оцінка не так вже й погана.

Не дивлячись на те, що це дуже маленьке число, нехтування такою поправкою виявляється неприпустимим для більшості супутників. На щастя, атомний годинник здатні давати набагато більш високу точність, з допомогою якої можна однозначно враховувати ці ефекти при проектуванні супутників.


Післямова

Нижня частина установки для детектування фотонів в експерименті Роберта Паунда і Глена Ребко (він на фото). Між випромінювачем і приймачем була прокладена труба з пластикової плівки діаметром 40 см; вона була заповнена гелієм, щоб запобігти поглинання фотонів повітрям. Фото з сайту seas.harvard.edu

Розглянуті вище гравітаційна затримка часу, відхилення світла в поле тяжіння, прецесія орбіт планет – далеко не повний список добре відомих ефектів, передбачених загальною теорією відносності. Експериментальне виявлення кожного з них служило надійним підкріпленням правоти ОТО. Причому, не завжди потрібно "ходити" кудись в космос, щоб зловити ці ефекти. Прикладом служить експеримент Паунда і Ребко, що підтвердив, що час справді сповільнюється в поле тяжіння.

Але якщо гравітаційної затримки схильне час, то можна очікувати, що така ж затримка буде і до "внутрішнього годинника" фотонів, тобто з їх частотою. В рамках ОТО фотон, випромінювань поблизу гравітаційного об'єкта в сторону нескінченно віддаленого спостерігача, схильний до гравітаційному червоному зсуву – його частота буде зменшуватися, а довжина хвилі збільшуватися в міру віддалення від об'єкта. Фактично фотон втрачає енергію, долаючи гравітаційний вплив масивного об'єкта. І навпаки, фотон, випромінювань в сторону масивного тіла, буде схильний до гравітаційному синього зсуву (збільшення частоти).

У своєму експерименті Паунд і Ребко досліджували гравітаційне червоне зміщення гамма-фотонів, що випромінюють порушеною атомом заліза 57Fe. Було це в башті Джефферсонівський лабораторії Гарварда, а сама установка мала висоту 22,5 м: на верхньому кінці розташовувався випромінювач, а на нижньому – приймач досить складної конструкції також з атомами ізотопу 57Fe, які повинні були поглинути гамма-фотони в зворотному процесі в разі, якщо їх частота не змінилася.

Для збільшення точності експерименту джерело циклічно рухали нагору і вниз, щоб симулювати ефект Доплера,який при певній швидкості джерела компенсував би гравітаційне червоне зміщення, викликавши резонансне поглинання фотонів залізом на нижньому кінці установки.

Гравітаційне червоне зміщення. Не слід плутати цей ефект з червоним зміщенням через ефект Доплера при видаленні галактик або рух зірок (див. Задачу Радіальні швидкості і екзопланети). Зокрема, в експерименті Паунда і Ребко гравітаційне червоне зміщення було спеціально компенсовано ефектом Доплера, завдяки руху джерела випромінювання. Малюнок з сайту theconversation.com

Може виникнути питання, а чому, власне, береться саме параметр 2GM/(Rc2)? На це питання можна відповісти двома способами: феноменологически і фізично.

1. Уявіть, що ви хочете побудувати теорію гравітації, яка б одночасно враховувала і ньютоновскую гравітацію, і спеціальну теорію відносності. Виходить, що у вашій теорії буде і константа G і швидкість світла c. Характерне "вплив" вашої теорії при масі об'єкта M на відстані R буде описуватися деяким безрозмірним параметром. Єдиний спосіб сконструювати безрозмірну величину з G, M, c і R – це як раз скомбінувати їх у вигляді 2GM/(Rc2), Що і буде показувати поправку вашої теорії до вже існуючої. Такий підхід іноді називається розмірним аналізом.

Точно так же зі спеціальною теорією відносності. Малим параметром в цій теорії є ε = v/c, де v – деяка швидкість, з якою одне тіло рухається щодо іншого. Наприклад, ефект уповільнення часу на космічному кораблі, що рухається зі швидкістю v щодо покоїться спостерігача, по порядку величини дорівнює v/c (Знову ж, з точністю до деякого коефіцієнта).

Примітно те, що такий малий параметр у фізиці зустрічається часто-густо. Наприклад, ефекти квантової механіки при розсіянні частинок важливі, коли характерне відстань між частинками r порядку дебройлевской довжини хвилі частинок λdB. Іншими словами, квантова механіка не сильно важлива, коли λdB/r ≪ 1.

2. Щоб привести фізичнапояснення цього малого параметра, давайте перепишемо його в наступному вигляді: ε = 2 (GM/R)/c2 = 2φ/c2, Де φ = GM/R – це класичний гравітаційний потенціал на відстані R від об'єкта з масою M. Чим менше потенціал (тобто сила гравітаційного поля), тим менше параметр ε, і, відповідно, тим менше вплив ефектів ОТО.

Якщо у вас є тіло маси m на відстані R від масивного об'єкта з масою M, То, порівнявши потенційну енергію тіла GMm/R і енергію спокою mc2, Можна зрозуміти, наскільки важливі ефекти ОТО. Ставлення цих величин і є параметр ε.

Варто відзначити, що у всіх згаданих вище випадках параметр ε був сильно менше одиниці, тобто ефекти загальної теорії відносності нехай і можна було виміряти, але вони були дуже слабкими. Така межа загальної теорії відносності називається слабополевим.

До 1974 року всі експерименти ОТО були саме в слабополевом наближенні, що, безумовно, є сильним аргументом на користь ОТО, але лише в певному наближенні. У 1974 радіоастрономії Расселом Халсом і Джозефом Тейлором на радіотелескопі в Аресібо була відкрита подвійна система з нейтронних зірок (подвійний пульсар PSR B1913 + 16).

Обидві нейтронні зірки обертаються по еліптичних орбітах навколо загального центру мас. Але астрономи помітили, що орбіти поступово звужуються. Виявилося, що якщо порахувати втрату енергії за рахунок звуження орбіти, вона виявиться в точності такий же, як якщо б ця система випромінювала, передбачені в рамках вже сільнополевого наближення ОТО (при ε ~ 1) гравітаційні хвилі.

Таким чином, подвійна Халса-Тейлора стала першим доказом як існування гравітаційних хвиль, так і загальної теорії відносності в сільнополевом наближенні. У 2016 році, як відомо, відбулося перше в історії пряме детектування гравітаційних хвиль (Гравітаційні хвилі – відкриті !, "Елементи", 11.02.2016) чудово збігається з прогнозами загальної теорії відносності, і в корені закріпила її статус як єдиної заможної теорії гравітації.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: