Зоряне рівновагу • Айк Акопян • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Зоряне рівновагу

Зірки – це чи не найпоширеніший тип об'єктів в нашому Всесвіті. Тільки в нашій Галактиці за різними оцінками їх налічується від 100 до 400 млрд. Зірки дають більшу частину видимого випромінювання у Всесвіті. Енергія зірок може бути згубною, а може, як ми знаємо на прикладі Землі, підтримувати життя на прилеглих планетах. Розуміння того, як "працюють" зірки, – одна з найважливіших проблем астрофізики ось уже більше століття.

Зірки бувають абсолютно різні: від надщільних нейтронних зірок і білих карликів до червоних гігантів і блакитних надгігантів. Однак сьогодні ми обмежимося розглядом найпоширенішого класу – зірок головної послідовності. Давайте спочатку визначимося з назвою: чому саме головна послідовність?

На початку XX століття астрономи Ейнар Герцшпрунг і Генрі Рассел незалежно один від одного запропонували спосіб класифікації величезного розмаїття зірок за допомогою побудови досить простий діаграми, для якої беруться лише два параметра від кожної зірки: її колір (він пов'язаний зі спектральним класом), і світність (енергія, яку ця зірка випромінює в одиницю часу). Кожна зірка – це просто точка на такий діаграмі (рис.1), яку називають діаграмою Герцшпрунга-Рассела (або просто діаграмою колір-світність).

Мал. 1. Діаграма Герцшпрунга-Рассела. По горизонтальній осі відкладається колір зірки, який можна однозначно ототожнити з температурою її поверхні і з її спектральним класом. За вертикальної осі відкладається енергія випромінювання в одиницю часу, світність Сонця прийнята за 1. Зірки в лівому верхньому куті випромінюють в 104-105 раз більше енергії ніж Сонце, і мають температуру 30 000-40 000 К поблизу поверхні (зауважимо, що часто говорять про цю температурі, як про температуру безпосередньо поверхні зірки, але строго кажучи це не зовсім температура поверхні, а температура деякого шару, близького до поверхні зірки)

На цій діаграмі виділяється смуга, що йде з лівого верхнього кута в правий нижній кут, на яку потрапляє більшість зірок. Цю смугу і називають "головною послідовністю". Сонце, зокрема, лежить на головній послідовності – це зірка спектрального класу G з температурою поверхні приблизно 6000 K. У головній послідовності є як дуже масивні великі зірки (їх не слід плутати з червоними гігантами) з температурою поверхні в десятки тисяч градусів і світність в десятки і сотні тисяч разів більше сонячної,так і червоні карликові зірки з температурою поверхні всього 3000 К і в 1000 разів слабкіше за Сонце по світності (а їх не слід плутати з білими карликами).

Як виявилося, основною відмінною рисою і, власне, визначенням зірок головної послідовності є те, що в їхніх надрах переважає термоядерний горіння водню, завдяки якому ці зірки знаходяться в рівновазі. Поки водню досить, щоб підтримувати хід реакції, зірка живе на головній послідовності. Абсолютно всі зірки так чи інакше проводять принаймні деякий час в цій групі: масивні гіганти проводять лише кілька мільйонів років, зірки типу Сонця – приблизно десять мільярдів років, а червоні карлики типів К і М можуть знаходиться там кілька трильйонів років.

Крім головної послідовності є й інші групи зірок, які можна помітити на діаграмі Герцшпрунга-Рассела: білі карлики, червоні гіганти, надгіганти, зірки типу T Тельця і ​​т. Д. Якщо головну послідовність можна назвати основним життєвим циклом зірок, то перераховані вище стадії (або групи) – це стадії смерті і народження зірок.Так, зірка типу Сонця, витративши запас водню в ядрі рано чи пізно почне спалювати водень над ядром, що викличе сильне розширення і, відповідно, охолодження оболонки (стадія червоного гіганта). Тоді Сонце поступово зміститься з головної послідовності в групу червоних гігантів.

У цьому завданні ми розглянемо саму базову фізику зірок головної послідовності, а саме – їх термодинаміку, і спробуємо розібратися, як влаштовано стабільна рівновага, в якому зірки можуть перебувати протягом мільярдів років.

Стане в нагоді важливе правило, яке можна застосувати до будь-якої самогравитирующих системі: система стабільно існує і не розвалюється тільки тоді, коли її повна енергія менше нуля. Як тільки енергія стає більше нуля – система ризикує розпастися і розлетітися на частини, так як гравітація більш не може утримувати її. Про те, звідки це правило береться, детально поговоримо пізніше. Але в найпростішому випадку легко переконатися, що воно працює. Якщо, наприклад, взяти хмара газу з ненульовий температурою в вакуумі, то неважко здогадатися, що при відсутності тяжіння (тобто з "виключеною" негативною складовою енергії) молекули просто розлетяться в різні боки.Однак якщо "дозволити" частинкам притягатися один до одного, то за умови, що швидкості не дуже великі, гравітація може утримати газ в рівновазі.

завдання

Можна вважати, що енергія зірки складається з двох частин – теплової Ет і гравітаційної Ег: Е = Ег + Ет. Якщо зірка досить гаряча (як це буває з дуже масивними зірками), то до цього висловом потрібно додати енергію випромінювання Еі, Але про неї – трохи пізніше.

Гравітаційна енергія задається формулою Ег = −GM2/R, де G – гравітаційна стала, M – маса зірки, R – її радіус.

1) Пам'ятаючи про баланс сил тиску і тяжіння, висловіть через Ег і обсяг зірки середній тиск газу в ній. Зверніть увагу, що отримана відповідь не буде залежати від природи тиску. Знайдіть середній тиск в "ідеальному" Сонце, що складається тільки з водню і має масу Msun = 2×1033 г і радіус Rsun = 7×1010 см.

2) Знаючи закон ідеального одноатомного газу PV = NkT (P – тиск, V – обсяг, N – кількість атомів, k – постійна Больцмана, T – температура), і враховуючи, що теплова енергія зірки – це просто енергія газу Ет = 3NkT/2, висловіть повну енергію зірки через її гравітаційну енергію.Повинна вийти негативна величина, тобто зірки, в яких тиск забезпечується ідеальним одноатомних газом, стабільні. Знайдіть температуру "ідеального" Сонця.

У масивних зірках крім тиску газу потрібно враховувати тиск фотонів (випромінювання), яке додає позитивну енергію і, при достатньому їх кількості, може вивести зірку з рівноваги. Тиск випромінювання задається формулою Рі = аТ4/ 3, де а – константа, рівна 7,57 × 10−15 ерг · см−3 · До−4.

3) Розглянемо простий випадок, коли тиск випромінювання Рі одно в точності вимірювання тиску NkT/V. Знайдіть характерну масу зірки (в масах Сонця), що знаходиться в рівновазі в таких умовах. Відповідь не повинен залежати від радіуса або температури.


Підказка 1

У пункті 1) скористайтеся тим, що "сила газу" – це тиск газу, помножене на площу. Сила тиску повинна збалансовуватися гравітаційної силою, яку можна оцінити по порядку величини з відомих нам розмірних параметрів.


Підказка 2

У пункті 3) з рівності тиску газу і випромінювання знайдіть температуру, висловивши її через щільність. Скориставшись пунктом 1), підставте температуру і позбудьтеся від радіуса, знаючи, що \ (M = \ rho V \).


Рішення

1) Будемо все формули писати по порядку величини, так як великий точності нам не потрібно. Сила, з якою газ із середнім тиском P відштовхує оболонку зірки, дорівнює P·4πR2. Ця сила врівноважується гравітаційним тяжінням, яке приблизно дорівнює GM2/R2. Враховуючи що Eг = −GM2/R, А обсяг V = 4πR3/ 3, отримаємо, що середній тиск

\ [P = – \ frac % % \ frac {E _ {\ text {г}}} {V}. \]

Зауважте, що тут ми не робили ніякого припущення про те, яка природа цього тиску: воно може бути як тиском газу, так і тиском фотонів. Отримана формула вірна в будь-якому випадку.

Підставивши числа для Сонця, отримаємо, що середній тиск одно P = 1014 Па, або 109 в одиницях атмосферного тиску. Це значення дуже приблизне, так як насправді тиск в центрі Сонця на багато порядків більше тиску поблизу поверхні.

2) Тепер будемо вважати, що тиск зірки – це тиск ідеального одноатомного газу. Теплова енергія в такому випадку буде дорівнює Eт = 3NkT/ 2, де N – повне число частинок газу (ядер водню). З іншого боку, рівняння стану ідеального газу дає співвідношення PV = NkT, А з пункту 1) виходить що PV = −Eг/ 3. З цих рівність випливає, що Eт = −Eг/ 2, і тому повна енергія виходить рівною половині гравітаційної:

\ [E _ {\ text {п}} = \ frac % % E _ {\ text {г}}. \]

Це – віриалів теорема. У загальному випадку вона стверджує, що у зв'язкової системи в рівновазі повна енергія дорівнює половині потенційної. Так як гравітаційна енергія негативна, то і повна енергія також негативна, і ми отримуємо, що система абсолютно стабільна.

Для сонячних параметрів з умови можна отримати середню температуру 8 × 106K. Це значення іноді ще називають віриалів температурою. Знову ж таки, значення досить неточне, так як температура Сонця варіюється від десятка мільйонів Кельвін поблизу центру до всього декількох тисяч у поверхні.

3) У досить масивних і, відповідно, гарячих зірок крім тиску газу доводиться враховувати тиск випромінювання (фотонів). Так як енергія випромінювання позитивна, то випромінювання є дестабілізуючим фактором. Щоб зрозуміти, за яких масах зірок це має значення, розглянемо випадок, коли тиск випромінювання по порядку величини дорівнює тиску газу.

через n = N/V позначимо середню концентрацію частинок, яка також може бути записана у вигляді ρ /mH, Де ρ – середня щільність зірки, а mH – маса ядра водню (тобто протона).Тоді рівність тисків газу і випромінювання запишеться у вигляді

\ [\ Frac {\ rho} {m _ {\ rm H}} kT = \ frac % % aT ^ 4. \]

Звідси знайдемо температуру:

\ [T = \ left (\ frac % % \ frac % {m _ {\ rm H}} \ rho \ right) ^ {1/3}. \]

з пункту 1) ми пам'ятаємо, що P = −Eг/ (3V). У нашому випадку загальний тиск P складається з тиску випромінювання і тиску газу, які дорівнюють, тому ми можемо взяти просто P = 2aT4/ 3. тоді маємо

\ [\ Frac % % a T ^ 4 = \ frac {GM ^ 2} {4 \ pi R ^ 4}. \]

З огляду на, що ρ = M/V, Позбудемося від радіуса в вираженні вище і отримаємо

\ [\ Frac % % a T ^ 4 = \ frac % {4 \ pi} \ left (\ frac {4 \ pi} % \ right) ^ {4/3} GM ^ { 2/3} \ rho ^ {4/3}. \]

підставами температуру T і зауважимо, що щільність скорочується, а залишається лише маса. У підсумку отримуємо, що M ~ 60MSun.

Для порівняння, у Сонця тиск випромінювання в середньому близько 107 (В атмосферах), тобто на два порядки менше тиску газу.


Післямова

Таким чином, ми отримали (і це відповідає дійсності), що у зірок з досить великою масою умова рівноваги (тобто негативність повної енергії) порушено, і такі зірки поводяться вкрай нестабільно. Є кілька класів таких зірок, наприклад, яскраві блакитні змінні (luminous blue variable – LBV). У таких зірок спостерігаються драматичні зміни світності і навіть вибухи протягом життя.

Яскравим прикладом такої зірки є система Ета Кіля, що складається з двох зірок,одна з яких якраз є зіркою класу LBV масою 150-250 мас Сонця з сильною переменностью випромінювання і постійними викидами маси, які і утворюють цю прекрасну туманність, показану на фотографії нижче. У березні 1843 року цю систему в результаті потужного спалаху навіть була другою за яскравістю зіркою (після Сіріуса). Досить швидко яскравість спала і до 1870-х років зірка перестала бути видною неозброєним оком. Але з 1940-х років яскравість знову зростає. Зараз у Ети Кіля зоряна величина приблизно 4,5m. Зірка-компаньйон – це зірка класу O масою близько 30 мас Сонця.

Мал. 2. Ета Кіля – яскрава точка на стику двох частин туманності Гомункул. Зображення з сайту ru.wikipedia.org

Ця система також примітна тим, що в недалекому майбутньому (за астрономічними мірками) вона повинна вибухнути в вигляді дуже потужною наднової з подальшим утворенням чорної діри. Через величезної маси і зблизька (всього близько 7500 світлових років від нас), вибух може виявитися самим "драматичним" астрономічним подією принаймні за останнє тисячоліття.

У цьому завданні ми також зрозуміли, що у стабільних зірок головної послідовності повна енергія негативна і в рівновазі дорівнює половині гравітаційної (потенційної) енергії.Таке вириальне співвідношення, як ми побачили, вірно для всіх зірок головної послідовності, крім досить масивних зірок (масою більше декількох десятків мас Сонця), у яких стає важливим внесок випромінювання в тиск.

Варто звернути увагу також і на інше співвідношення. У пункті 2) ми бачили, що внутрішня енергія газу (до речі, вона ж – кінетична енергія ядер водню), Eт, Дорівнює половині потенційної енергії зі знаком мінус: Eт = −Eг/2.

Потенціальна енергія Eг = −GM2/R, Тобто якщо зірку злегка стиснути, потенційна енергія, а значить, і повна енергія, зменшується. З іншого боку, згідно з формулою з попереднього абзацу, енергія газу, а, відповідно, і температура, зростає. Тобто, коли зірка втрачає енергію, її температура збільшується, що говорить про негативну теплоємності зірки.

З цієї точки зору, саме негативна теплоємність забезпечує таку високу стабільність: зірка стискається, температура збільшується, збільшується тиск, відповідно зірка розширюється назад, і навпаки.

Цей факт, до речі, дуже важливий не тільки для стабільності зірок на головній послідовності, але і в процесі народження зірок.Протозірка, яка зазнає гравітаційне стиснення упродовж мільйонів років, ефективно втрачає свою енергію. Через негативною теплоємності в результаті температура протозірки зростає до тих пір, поки не досягає значення, коли в самих її надрах "запалюється" водень. Саме цей момент і вважається умовним моментом народження зірки і "входом" на головну послідовність.

На завершення, трохи відійшовши від теми, давайте обговоримо, чому у зв'язкових систем повна енергія повинна бути негативною. Уявіть систему з двох об'єктів масами m1 і m2, Які обертаються навколо одна одної у відкритому космосі (природно, по еліптичних орбітах).

Мал. 3.

Величини, які зберігаються при такому русі, – це момент імпульсу і повна енергія (а також повний імпульс, так як немає зовнішніх сил). Запишемо повну енергію і момент імпульсу такої системи. Так як вона зберігається, ми можемо записати її в будь-який зручний нам момент обертання – вона буде абсолютно такий же в усі інші моменти. Давайте для простоти візьмемо момент, коли обидві зірки знаходяться в своїх "периастра", тобто в найближчих точках один до одного (P1 і P2 на малюнку 3).Нехай в цей момент швидкості зірок дорівнюватимуть v1 і v2 (В цей момент швидкості будуть спрямовані в протилежних напрямках – вгору і вниз на нашому малюнку – і перпендикулярно з'єднує зірки лінії).

Тоді повний момент імпульсу запишеться так: L = m1v1r1 + m2v2r2, де r1 і r2 – це відстані від точок P1 і P2 до центру мас системи C. Ми також знаємо, що імпульс повної системи зберігається і можна покласти його рівним нулю (в системі центру мас). тоді m1v1 = m2v2. І для моменту імпульсу маємо L = m1v1r, де r = r1 + r2 – відстань між двома зірками.

Тепер запишемо повну енергію системи

\ [E = – \ frac {Gm_1 m_2} % + \ frac {m_1 v_1 ^ 2} % + \ frac {m_2 v_2 ^ 2} %, \]

– це сума потенційної і кінетичної енергії. Зверніть увагу, що потенційна енергія негативна. Враховуючи що m1v1 = m2v2 і користуючись виразом для L, Енергію можна представити у вигляді

\ [E = – \ frac {Gm_1 m_2} % + \ frac {L ^ 2} {2r ^ 2} \ left (\ frac % {m_1} + \ frac % {m_2} \ right) , \]

тобто як функцію від відстані.

У загальному випадку, якщо розглядати довільне положення зірок, то до цього висловом потрібно додати кінетичну енергію через рух уздовж лінії, що з'єднує центр мас і точку на орбіті (рух по нормалі). У разі точок P1 і P2 ці швидкості дорівнюють нулю.

Тоді маємо для довільних точок вираз для енергії

\ [E = – \ frac {Gm_1 m_2} % + \ frac {L ^ 2} {2r ^ 2} \ left (\ frac % {m_1} + \ frac % {m_2} \ right) + \ frac {m_1 v_ {1 \ text {н}} ^ 2} % + \ frac {m_2 v_ {2 \ text {н}} ^ 2} %, \]

де r – вже довільне відстань між двома тілами. Таким чином, виходить, що тіла фактично відчувають не просто гравітаційну силу Gm1m2/r2, Але також додаткову (відцентрову). Якщо говорити мовою фізики, це означає, що тіла відчувають якийсь ефективний потенціал. Графік ефективного потенціалу показаний нижче. Якщо ефективна потенційна енергія

\ [E _ {\ text {еф}} = – \ frac {Gm_1 m_2} % + \ frac {L ^ 2} {2r ^ 2} \ left (\ frac % {m_1} + \ frac {1 } {m_2} \ right) \]

менше нуля, то орбіти замкнуті, і зірки обертаються по еліпсам з максимальним і мінімальним віддаленням відповідно rmax і rmin (В точці мінімуму потенціалу – по колах з відстанню rcircle один від одного). якщо значення Eеф стає нулем, то замкнутої орбіти немає, і об'єкти відлітають на нескінченність по параболічних орбітах. Якщо енергія більше нуля, то виходять відкриті гіперболічні орбіти.

Мал. 4.

Виявляється, що такі міркування можна поширити на будь-яку самогравитирующих систему: система стабільно існує і не розлітається тільки коли, коли її повна енергія менше нуля, а як тільки вона стає більше, то система ризикує розпастися або розлетітися на частини, так як гравітація більш не може утримувати її.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: