"Жорсткі" замощення • Хайдар Нурлігареев • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика

“Жорсткі” замощення

завдання

Легко замостити площину однаковими трикутними плитками (рис. 1, зліва). Така схема годиться для будь-якого трикутника. Можна сказати, що це замощення "нежорстке" в тому сенсі, що якщо трохи змінити пропорції трикутників (вони як і раніше повинні бути рівними), то знову вийде замощення площині за цією схемою (рис. 1, справа).

Мал. 1.

Але буває і по-іншому. Подивіться на рис. 2: тут теж все трикутники рівні, але ця схема працює тільки для абсолютно конкретних пропорцій трикутників. Можна сказати, що таке замощення "жорстке".

Мал. 2.

а) Припускаючи, що всі трикутники на рис. 2 рівні, знайдіть їх кути і співвідношення сторін. Доведіть, Що з малюнка вони визначаються однозначно.

б) Придумайте "Жорстке" замощення з рівних опуклих чотирикутників.

в) Придумайте "Жорстке" замощення з рівних п'ятикутників (не обов'язково опуклих).


Підказка 1

а) Щоб отримати умова, якому повинні задовольняти кути трикутника, досить скористатися тим, що сума кутів, прилеглих до кожної вершині, дорівнює 360 °. А для пошуку умови на боку корисно розглянути відрізки, утворені кількома сторонами примикають один до одного трикутників.

Відзначимо, що кути і сторони не можуть змінюватися незалежно один від одного, вони взаємопов'язані. Більш того, зв'язок між кутами і співвідношеннями сторін взаємно однозначна. Справді, знаючи співвідношення сторін, можна визначити значення кутів по теоремі косинусів. А знаючи кути, можна знайти співвідношення сторін по теоремі синусів. Таким чином, щоб вирішити задачу, досить знайти всього два рівняння на боку або кути.


Підказка 2

б), в) Основна ідея полягає в наступному. Щоб замощення виявилося «жорстким», що входять до нього копії однієї і тієї ж плитки повинні стикатися один з одним якомога більшою кількістю способів. Тоді кожен такий спосіб дасть деякий рівняння на кути і сторони, а чим більше рівнянь – тим менше ступенів свободи.

Є кілька способів спробувати сконструювати таку плитку, копії якої можна було б докласти один до одного по-різному. Один з них – накласти на плитку якісь характерні обмеження. Наприклад, шукати її в класі багатокутників, що володіють паралельними сторонами. Або серед плиток, які-небудь сторони яких дорівнюють. Також може бути гарною ідеєю розглядати кути, що ділять 360 ° і кратні їм.

Інший можливий спосіб – спробувати скористатися вже відомими замощення, наприклад, такими, як на рис. 3. Тоді треба намагатися скласти з декількох плиток або шматочків плиток, що входять у вихідне замощення, нову плитку. А вже потім з копій отриманої плитки скласти «жорстке» замощення, в контурах якого буде вгадуватися замощення вихідне.

Мал. 3.


Рішення

а) Позначимо сторони і кути трикутної плитки так, як показано зліва на рис. 4. Тоді розгляд відрізка, утвореного сторонами чотирьох трикутників (в середині на рис. 4) дозволяє отримати співвідношення на боку: a + c = 2b. А дивлячись на вершину, в якій сходяться три трикутника (праворуч на рис. 4), ми розуміємо, що 2γ = 180 °. Таким чином, γ = 90 °, тобто трикутник прямокутний. Значить, він задовольняє теоремі Піфагора: \ (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. \)

Мал. 4.

Тепер, щоб знайти шукані співвідношення, досить простих обчислень:

\ [(A + c) ^ 2 = 4b ^ 2 = 4 (c-a) (c + a). \]

Звідси отримуємо

\ [(A + c) = 4 (ca) \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % % \ quad \ Rightarrow \ quad \ dfrac % % = \ dfrac % %. \]

Відповідно, кути трикутника рівні \ (\ alpha = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ beta = \ arcsin \ dfrac % % = \ arcsin \ dfrac % %, \) \ (\ gamma = 90 ^ {\ circ}. \)

б) Розглянемо прямокутну трапецію, складену з квадрата і прямокутного трикутника, який дорівнює половині цього квадрата (рис. 5, зліва). Копії цієї трапеції можна прикласти один до одного багатьма різними способами.Оскільки ми хочемо, щоб вийшло в підсумку замощення виявилося "жорстким", для початку нам необхідно скласти із зазначених трапецієподібних плиток такі конфігурації, які будуть задавати відносини сторін і кути трапеції однозначно. Цього нескладно домогтися. Наприклад, склавши з чотирьох плиток фігури, зображені на рис. 5, ми доб'ємося виконання рівності γ = δ = 90 °, а склавши з восьми плиток "хрест", отримаємо умову α = 45 °. Якщо ж з трьох плиток зібрати фігуру, зображену на рис. 5 праворуч, то буде справедливо рівність 2a = b.

Мал. 5.

Очевидно, що якщо чотирикутник задовольняє зазначеним вище чотирьох равенствам, то він неодмінно є нашу прямокутну трапецію. Тому будь-яке замощення, в якому зустрічаються всі вищезгадані конфігурації, неодмінно виявиться "жорстким" в тому сенсі, що по тій же схемі не вийде скласти замощення ні з якого іншого чотирикутника. Подібних замощення незліченна безліч; наприклад, таким є замощення, зображене на рис. 6.

Мал. 6.

Відзначимо, що хоча замощення на рис. 6 згідно з нашим визначенням "жорстке", воно легко піддається деформації: можна вільно рухати плитки,що знаходяться в одному горизонтальному або вертикальному ряду, уздовж відповідної прямої. Цього можна уникнути, якщо скласти їх іншим способом. Наприклад, так, як показано на рис. 7.

Мал. 7.

в) В основі замощення, зображених на рис. 6 і рис. 7, можна вгадати стандартний паркет з квадратиків (рис. 3, справа). Покажемо, як подібним чином можна отримати "жорстку картинку" з неопуклих п'ятикутників, використавши в якості основи замощення правильними трикутниками (рис. 3, зліва). Для цього візьмемо плитку, складену з двох правильних трикутників і ще двох половинок таких трикутників (рис. 8, зліва).

Мал. 8.

Як і в попередньому пункті, спочатку зазначимо чотири конфігурації, які визначають розглянуту нами плитку однозначно. Вони показані на рис. 8. Перша з них задає кут ε = 90 °. Друга дозволяє написати співвідношення 3γ + 2ε = 360 °, а оскільки кут ε вже зафіксовано, отримуємо γ = 60 °. Аналогічно, третя конфігурація дає рівність α + γ + 3ε = 360 °, звідки α = 30 °. І нарешті, остання конфігурація дозволяє зрозуміти, що β + 2γ = 360 °, тобто β = 240 °. Що стосується кута δ, то він визначається виходячи з того, що сума кутів п'ятикутника дорівнює 540 °, і дорівнює δ = 120 °.

Мал. 9.

Виявляється, вже однією тільки конфігурації, зображеної в середині на рис. 8, досить для того, щоб було виконано рівність b = e = a = d. Отже, зазначені вище чотири конфігурації дійсно визначають п'ятикутну плитку однозначно. Таким чином, залишається навести приклад замощення, що включає їх все. При його побудові допомагає ідея конструювання смуг: спочатку копіями нашої плитки ми породжуємо нескінченну смугу, яку можна прикладати саму до себе (рис. 9). А потім такими смугами вже покриваємо всю площину (рис. 10). Відзначимо широку застосовність ідеї конструювання смуг: подібне "смугасте" будова мають обидва замощення, побудовані нами при вирішенні пункту б), Та й взагалі, будь-яке періодичне замощення, по суті, складений із смуг. Однак періодичними замощення справа не обмежується (що можна спостерігати, наприклад, в задачі Паркети з Полімін).

Мал. 10.

У нашому прикладі плитка не є опуклою, однак це зовсім не обов'язкова умова для того, щоб породити "жорстке замощення". Розглянемо п'ятикутну плитку, зображену на рис. 11 – вона складена з квадрата і двох прямокутних трикутників з меншим кутом, рівним 22,5 °.Виявляється, копіями такої плитки теж можна замостити площину "жорстким чином", як це показано праворуч на рис. 11. Правда, довести це трохи складніше, ніж "жорсткість" замощення, які нам зустрілися раніше. Проте, обрисуємо основні моменти цього докази.

Мал. 11.

Перш за все, зі схеми, за якою складені плитки, видно, що сторони задовольняють співвідношенням a = e = b і c = b + d. Що ж стосується кутів, то на них можна скласти чотири рівняння, з яких видно, що α = γ, δ = ε, β + δ = 180 ° і β + 180 ° = 2γ. Тому, ввівши кут φ = δ / 2, можемо висловити інші кути через нього:

\ [\ Alpha = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ beta = 180 ^ {\ circ} -2 \ varphi, \ quad \ gamma = 180 ^ {\ circ} – \ varphi, \ quad \ delta = 2 \ varphi, \ quad \ varepsilon = 2 \ varphi. \]

Тепер головна ідея полягає в наступному. Щоб замощення було "жорстким", необхідно, щоб у нього були відсутні ступеня свободи. На поточний момент у нашій плитки є два параметри, які ми можемо варіювати: кут φ і ставлення сторін a і d. Однак ці зміни не можуть бути довільними, бо параметри взаємопов'язані. Якщо, проаналізувавши характер зв'язку з цим, ми покажемо, що для даної схеми реалізується лише кінцеве число можливих кутів і відносин сторін, то звідси відразу буде слідувати, що шукане замощення є "жорстким".

Введемо позначення так, як показано зліва внизу на рис. 11. Оскільки CDEF – равнобокая трапеція, то підстава

\ (CF = a-2a \ cos2 \ varphi = a (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \).

Тому ми можемо знайти відношення відрізків a і d, Висловивши відрізок BF по теоремі косинусів в трикутниках ABF і CBF:

\ [BF ^ 2 = d ^ 2 + d ^ 2-2d ^ 2 \ cos (180 ^ {\ circ} – \ varphi) = a ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) ^ 2-2a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos \ varphi. \]

Перетворивши, отримаємо

\ [\ Dfrac {d ^ 2} {a ^ 2} = 5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi. \]

З іншого боку, ми можемо знайти відношення відрізків a і d, Висловивши відрізок AC по теоремі косинусів в трикутниках ABC і AFC:

\ [AC ^ 2 = a ^ 2 + d ^ 2-2ad \ cos (180 ^ {\ circ} -2 \ varphi) = \ = d ^ 2 + a ^ 2 (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi ) ^ 2-2ad (3-4 \ cos ^ 2 \ varphi) \ cos2 \ varphi. \]

Якщо \ (\ cos2 \ varphi \ ne0 \), тобто якщо п'ятикутник відрізняється від нашого, ми приходимо до наступного рівності:

\ [\ Dfrac % % = \ dfrac {2 (\ cos ^ 2 \ varphi-1)} {2 \ cos ^ 2 \ varphi-1} = – \ dfrac {2 \ sin ^ 2 \ varphi} {\ cos2 \ varphi}. \]

Зокрема, звідси видно, що це можливо тільки при \ (\ cos2 \ varphi <0 \), і при цьому

\ [5-8 \ cos \ varphi-4 \ cos ^ 2 \ varphi + 8 \ cos ^ 3 \ varphi = \ dfrac {4 (\ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2} {(2 \ cos ^ 2 \ varphi-1) ^ 2}. \]

Останнє рівняння ж може мати лише кінцеве число рішень. Таким чином, розглядається замощення – "жорстке".


Післямова

Все замощення, обговорювані вище в рамках даного завдання, в своїй основі використовували одну єдину многокутну плитку. Цю плитку ми копіювали і потім копіями покривали всю площину без пробілів і накладень. Такі замощення називаються моноедральнимі, А що лежить в їх основі багатокутник – протопліткой. Як ми бачили, навіть не дивлячись на заборону використовувати плитки різних видів, що виходять картинки відрізнялися більшою розмаїтістю. У багатьох випадках замощення з даної протопліткой виявляється нескінченно багато, більше того – їх незліченну кількість. У той же час, для інших протопліток (як, скажімо, для правильного шестикутника) замощення єдино, а деякі протопліткі не допускають замощення зовсім.

Було б природно задатися питанням, як по виду даного багатокутника зрозуміти, чи можна його копіями замостити площину. Однак алгоритм, який дозволяв би відповісти на це питання, отримавши на вході плитку, а на виході видавши результат "так" або "ні", людству невідомий. Більш того, є серйозні підстави сумніватися в тому, що він в принципі існує. Обговоримо коротко, що може цьому заважати. Для цього буде корисно хоча б поверхово познайомитися з групою симетрій замощення.

симетрією даного замощення називається такий рух площини, що переводить це замощення в себе. Грубо кажучи, якщо ви спочатку довго дивилися на замощення, потім відвернулися,а хтось за вашою спиною пересунув все плитки так, що, по-перше, відстані між плитками збереглися, а по-друге, ви, обернувшись, не можете знайти різницю – це і є симетрія. Якщо серед безлічі всіх симетрій замощення існує два несонаправленних паралельних перенесення, то це замощення називається періодичним. Наприклад, періодичними є замощення на рис. 6, 7, 10 і 11, та й взагалі – все замощення, які ми поки обговорювали. Однак у всіх цих прикладах неважко переставити плитки так, щоб це властивість перестало виконуватися.

Періодичні замощення характеризуються наявністю так званої фундаментальної області – такого поднабора плиток, що все замощення можна отримати паралельними переносами цього поднабора (це як раз наші "смуги", про які йшлося в рішенні). Тому намагаючись відповісти на питання, чи можна копіями даної протопліткі замостити всю площину, досить природно діяти наступним чином. Потрібно перебирати всі можливі варіанти, зістиковуючи плитки один з одним, і, якщо в якийсь момент виникла фундаментальна область, то, значить, замощення є.А якщо ми перерахуємо всі варіанти, а фундаментальної області не знайдемо, то замощення дана протоплітка не допускає.

Однак в цьому методі пошуку є істотний недолік. Раптом наша протоплітка виявилася апериодической, Тобто замостити всю площину її копіями можна, але всі ці замощення – неперіодичні? Тоді всіх способів зістикувати між собою плитки ми ніколи не переберемо, тому що ними можна покрити шматок як завгодно великого розміру. Але і фундаментальної області нам знайти не вдасться, адже періодичного замощення немає. Так і будемо перебирати варіанти до нескінченності і ніколи не зупинимося.

Чи існують апериодические протопліткі, на сьогоднішній день достеменно невідомо – яка постулює цей факт гіпотеза Конвея поки не доведена. Так що ще залишається певна ймовірність того, що викладений вище алгоритм дозволяє відповісти на питання, чи можна сконструювати замощення на основі даної протопліткі чи ні. Однак в тривимірному просторі аналогічна гіпотеза була вирішена позитивно, і на площині Лобачевського – теж. Крім того, варто нам збільшити число використовуваних протопліток до двох, як ми відразу виявляємо приклад аперіодичного набору – знамениту мозаїку Пенроуза (рис. 12).

Мал. 12. Мозаїка Пенроуза.Зображення з сайту ru.wikipedia.org

Коль скоро немає впевненості в тому, чи завжди можна зрозуміти по даній плитці, допускає вона замощення площині чи ні, варто спробувати розглянути менш загальний випадок і накласти на протоплітку якісь обмеження. Перш за все, будемо вважати, що всі багатокутники, складові замощення, є опуклими. Ця умова виявляється досить сильним: з'ясовується, що кількість сторін опуклою протопліткі, що допускає замощення, не перевищує 6. Однак і тут виникають серйозні труднощі.

Мал. 13.

Нескладно переконатися в тому, що копіями будь-якого трикутника, так само як і копіями будь-якого чотирикутника можна покрити всю площину – тут навіть не потрібно умова опуклості (рис. 13). Однак уже з п'ятикутниками все не так просто. Вивчення моноедральних замощення п'ятикутниками має багату історію, і навіть зараз ще немає повної впевненості, що ця задача знайшла своє логічне завершення. Мабуть, першим провів класифікацію в 1918 році Карл Рейнхард, виділивши п'ять типів опуклих п'ятикутних замощення (рис. 14). Кожен тип характеризувався певним набором умов на сторони і кути, що давав, однак, певну свободу – всі ці замощення були "нежорсткими".Через півстоліття, в 1968 році, Річард Кіршнер повідомив світові про відкриття ще трьох типів замощення, стверджуючи, що цими вісьмома типами все і вичерпується. Однак він виявився неправий: в 1975 році Річард Джеймс, прочитавши статтю відомого популяризатора науки Мартіна Гарднера, знайшов ще один тип. Але справжній прорив в наступні два роки зробила прочитала ту ж статтю домогосподарка Марджорі Райс – їй вдалося виявити цілих чотири нові типи моноедральних замощення опуклими п'ятикутниками.

Мал. 14. 15 моноедральних замощення площині п'ятикутниками. Малюнок з сайту forbes.com

Історія на цьому, однак, не закінчилася: чотирнадцятий замощення знайшов Рольф Стейн в 1985 році – на відміну від усіх попередніх воно було "жорстким". А ще через тридцять років група дослідників в складі Кейсі Манна, Дженіффер Маклауда і Девіда фон Дюрея, використовуючи комп'ютерні обчислення, виявила п'ятнадцятий замощення, теж ступенем свободи не володіла. Нарешті, в 2017 році Майкл Рао пред'явив доказ того, що інших п'ятикутних замощення немає. Однак для доказу Рао використовував спеціально написану комп'ютерну програму, що викликає певний скепсис у частини наукового співтовариства, хоча вона і була незалежно відтворено і перевірена.

Інший підхід до класифікації моноедральних замощення заснований на тому, що ми фокусуємо увагу на властивостях плиток по відношенню до групи симетрії. Якщо для будь-яких двох плиток, що входять в замощення, існує симетрія, яка переводить першу плитку в другу, то таке замощення називається ізоедральним. Більш загально, ми говоримо, що замощення k-ізоедральное, Якщо безліч його плиток розбивається на k класів під дією групи симетрій. Наприклад, замощення на рис. 13 є ізоедральнимі, тому що кожну плитку можна перевести в будь-яку іншу або паралельним переносом (такі плитки розфарбовані в один колір), або поворотом (такі плитки розфарбовані в різні кольори). А замощення на рис. 11 вже 2-ізоедральное: плитки, розфарбовані жовтим, можна перевести один в одного так, щоб замощення самосовместілось, точно також, як можна перевести один в одного сині плитки, однак синю плитку в жовту перевести не можна. Інші замощення, які ми бачили в рішенні, також є k-ізоедральнимі для різних k. Щоб побачити це, перерісуем їх так, щоб плитки могли бути переведені один в одного симетрією замощення тоді і тільки тоді,коли вони розфарбовані в один колір (як це було замощуванням з умови, яке, як тепер нам зрозуміло, є 3-ізоедральним). Зробивши це, бачимо, що для одного з них k = 8 (рис. 15, зліва), для другого k = 16 (рис. 15, справа), а для третього k = 10 (рис. 15, внизу).

Мал. 15.

Ізоедральние замощення опуклими багатокутниками піддаються класифікації. Так, за все мається:

  • 14 ізоедральних замощення трикутними плитками,
  • 56 ізоедральних замощення опуклими чотирикутними плитками,
  • 24 ізоедральних замощення опуклими п'ятикутними плитками,
  • 13 ізоедральних замощення опуклими шестикутними плитками.

В основному вони "нежорсткі" (як зображені на рис. 13 замощення). Але частина з них при деформації перестає бути ізоедральнимі. Таке, наприклад, замощення на рис. 16: ми можемо зрушити горизонтальні смуги один щодо одного, проте після цього трикутник з горизонтальною основою не можна буде перевести симетрією в трикутник з основою похилим.

Мал. 16.

класифікувати k-ізоедральние замощення при k > 1 теж можна. Однак, так само як і для замощення неопуклого плитками, це набагато складніше, і вже випадок 2-ізоедральних замощення стає важко доступним для огляду через величезну числа розгалужених варіантів. А про великі значення k ми не будемо навіть говорити.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: