Ялинки і ліхтарі • Костянтин Кноп, Євген Єпіфанов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика

Ялинки і ліхтарі

завдання

На великий-превеликий площі напередодні Нового року поставили багато-багато ялинок і багато-багато ліхтарів, причому ялинок було більше, ніж ліхтарів. Чи можливо виявитися так, що на відстані 1 метр від кожної ялинки коштує рівно 8 ліхтарів? (Ялинки і ліхтарі вважаються точками, а площа – плоскою.)


Підказка 1

Так, так може виявитися.


Підказка 2

Спробуйте спочатку придумати рішення для простішого випадку: коли на відстані 1 м від кожної ялинки знаходяться по 2 ліхтаря і ялинок більше, ніж ліхтарів.


Рішення

Спочатку обговоримо більш простий випадок з підказки 2. Помістимо ліхтарі в квадратну решітку зі стороною 2 м, а ялинки – в середини всіх відрізків між двома сусідніми ліхтарями. Якщо на одній стороні варто N ліхтарів, то всього ліхтарів буде N2. Ялинок при цьому буде 2N(N – 1), тому що половина з них стоїть на вертикальних відрізках, а половина – на горизонтальних. уже при N = 3 ялинок буде більше, ніж ліхтарів. На малюнку 1 показана ситуація при N = 5: на площі 25 ліхтарів та 40 ялинок.

Мал. 1.

У рішенні основного завдання ми збережемо розташування і ліхтарів, і майже всіх ялинок (ті, які не будуть задовольняти умові, просто приберемо з площі). А що тоді можна змінити? Як ні парадоксально, змінити найкраще одиницю виміру, тобто метр. Скоро буде зрозуміло, чому.

Нехай є велика площа, на якій ялинки і ліхтарі стоять так само, як в розібраному вище прикладі. Спочатку відповімо ось на яке питання: чи існує коло з центром в заданій ялинці, на якій знаходяться рівно 8 ліхтарів? Можемо вважати, що ця ялинка знаходиться на початку координат, а осі координат йдуть паралельно відрізкам, що з'єднує найближчі ліхтарі (нехай вісь абсцис йде уздовж того відрізка, на якому стоїть наша ялинка). Тоді ліхтарі будуть мати координати виду (2k + 1, 2l), Де k і l – цілі числа (одиниця масштабу – метр, який ми ще не міняли). По теоремі Піфагора квадрат відстані від ліхтаря з координатами (2k + 1, 2l) До ялинки дорівнює (2k + 1)2 + (2l)2. Такі суми можуть бути рівні один одному для різних пар цілих чисел (k, l). Наприклад, 12 + 82 = 72 + 42 = 65. Це означає, що ліхтарі в точках (7, 4) і (1, 8) знаходяться на рівних відстанях від ялинки. Але тоді на тій же відстані від неї знаходяться і ліхтарі, які стоять в точках (-7, 4), (7, -4), (-7, -4), (-1, 8), (1, -8) , (-1, -8), і всього таких ліхтарів буде рівно 8 (на рис. 2 вони показані синім, для наочності через них проведена окружність). Взагалі кажучи, ми не довели, що їх не буде більше восьми, але це нескладна вправа залишимо читачеві для самостійного рішення.

Мал. 2.

Тепер ми готові до обіцяного "зміни метра". нехай тепер новим метром стане радіус цієї самої окружності, на якій ми знайшли 8 ліхтарів. Тоді для всіх ялинок, які знаходяться досить "глибоко всередині площі" умова про 8 ліхтарів буде виконано. Залишилося порахувати, що таке "глибоко всередині". Ялинка повинна бути такою, щоб справа і зліва від неї на 7 "старих метрів" і зверху-знизу на 8 "старих метрів" стояли ліхтарі. Скільки таких ялинок на горизонтальних відрізках, якщо число ліхтарів уздовж боку квадрата дорівнює N? Ми повинні прибрати ялинки верхніх і нижніх чотирьох рядів і ялинки з трьох лівих і трьох правих середин відрізків. Тобто в кожному горизонтальному ряду тепер N – 7 ялинок (а не N – 1, як було раніше), а рядів таких тепер N – 8, а не N. Те ж саме можна сказати про ялинки на вертикальних рядах, тому загальне число ялинок дорівнює 2 (N − 7)(N – 8). Нерівність 2 (N − 7)(N − 8)>N2 виконано при N ≥ 26 (рис. 3). при таких N умова завдання буде виконано.

Мал. 3.


Післямова

Відзначимо, що в нашому рішенні використовувалися ідеї, близькі до яких розглядалися в завданні Окружності на картатій папері. У ній докладно розібрано, як шукати на картатій площині кола, що проходять через заданий число вузлів сітки.Також відзначимо, що наше завдання можна вирішувати і по-іншому: см. Рішення задачі М1129 "задачник" Кванта ".

Взагалі, завдань про конфігураціях кінцевого числа точок на площині, які б відповідали певним властивостям, – безліч. Здається, що це все повинні бути "дитячі" питання на кшталт нашого, але багато такі завдання виявляються дуже складними і ними займаються професійні математики. Розділ математики, присвячений подібним завданням – дискретна геометрія, – розвивався протягом усього XX століття, і великий внесок у цей процес вніс Пол Ердеш.

Багато задач комбінаторної геометрії підкуповують простотою своїх формулювань. наприклад: довести, що якщо не всі точки в наборі лежать на одній прямій, то знайдеться пряма, що проходить рівно через дві з цих точок. Це – теорема Сильвестра-Галлай (Sylvester-Gallai theorem), яка вирішена вже досить давно. Але, як і личить гарною задачі, з неї випливають інші питання: раз ця теорема стверджує, що обов'язково знайдеться хоча б одна пряма, що проходить рівно через дві точки, то скільки взагалі може бути таких прямих? Пару років тому статтю, присвячену цьому питанню, опублікував Теренс Тао, що зайвий раз показує, що від нескладних питань до передових країв науки часто буває досить короткий шлях.

Автор задачі і рішення: Костянтин Кноп
Автор післямови: Євген Єпіфанов


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: