V = S = P • Микола Авілов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика

V = S = P

завдання

Чи існує опуклий багатогранник, у якого збігаються числові значення обсягу, площі поверхні і суми довжин всіх ребер?


Підказка

Такий багатогранник існує, наприклад, серед правильних призм.


Рішення

Дотримуючись підказкою, пошукаємо відповідну призму. Правильна призма визначається числом n сторін багатокутника підстави, стороною підстави a і висотою h.

Сума довжин усіх її ребер дорівнює:

\ [P = 2na + nh. \]

Оскільки багатокутник підстави правильний, його площа, як нескладно знайти, дорівнює \ (\ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \). Тепер легко знайти інші фігурують в завданні параметри призми.

її обсяг V дорівнює:

\ [V = \ frac14na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n \ cdot h. \]

Площа поверхні S дорівнює:

\ [S = \ frac12na ^ 2 \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n + nah. \]

з рівності V = S знаходимо, що \ (a \ cdot \ mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {h-2} \). значить, h > 2. Також можна переписати вираз для об'єму у вигляді \ (V = \ frac14na \ cdot \ frac % {h-2} \ cdot h = \ frac {nah ^ 2} {h-2} \).

з рівності V = P виходять співвідношення \ (a = \ frac {h ^ 2-2h} {h ^ 2-2h + 4} \) і

\ (\ Mathrm % \, \ frac {\ pi} n = \ frac % {a (h-2)} = \ frac {4 (h ^ 2-2h + 4)} {(h-2 ) ^ 2} = 4 + \ frac % {(h-2) ^ 2}. \)

Ясно, що функція \ (f (x) = \ frac % {(x-2) ^ 2} \) на проміжку \ ((0; \; {+ \ infty}) \) приймає всі позитивні значення (і ніякі інші). Тому необхідна і достатня умова існування шуканої призми таке: виконання нерівності \ (\ mathrm % \, \ frac {\ pi} n> 4 \), що вірно при \ (n> 12 \).


Післямова

Подивимося, що відбувається в аналогічній ситуації на площині. Наприклад, у квадрата 4 × 4 числові значення площі і периметра збігаються. Таким же властивістю володіють прямокутник 3 × 6 і прямокутний трикутник з катетами 5 і 12 (рис. 1).

Мал. 1.

Як відомо, прямокутник не є жорсткою фігурою: якщо в його вершини помістити шарніри, то вони не будуть зафіксовані самі собою (як, наприклад, відбувається в разі трикутника або тетраедра). Скориставшись цим, можна показати, що існує паралелограм з рівними значеннями площі і периметра. Неважко знайти прямокутник, у якого площа більше периметра: підійде прямокутник зі сторонами 8 і 5. Якщо поступово зменшувати один з прямих кутів прямокутника від 90 ° до 0 °, то, по-перше, прямокутник відразу перетвориться в паралелограм, периметр залишається рівним 26, а по-друге, його площа безперервно буде зменшуватися від 40 до 0, і в якийсь момент вона стане дорівнює 26. Це і буде потрібний паралелограм. Цей процес показаний на рамкової моделі прямокутника (рис. 2). Зрозуміло, що таких паралелограмів нескінченно багато.

Мал. 2.

Покажемо, що існує нескінченно багато трикутників, у яких числові значення площі і периметра рівні.Розіб'ємо всі трикутники на класи, в кожному з яких знаходяться всі подібні один одному трикутники. Виявляється, що в кожному такому класі є трикутник, у якого числові значення площі і периметра рівні. Розглянемо який-небудь один з трикутників якогось класу. Нехай його площа дорівнює S1, А периметр – P1, Тоді подібний до нього трикутник з коефіцієнтом k має площу S2 = k2S1 і периметр P2 = kP1. Якщо в якості коефіцієнта подібності взяти k = P1/S1, То отримаємо трикутник, у якого \ (S_2 = P_2 = \ frac {P_1 ^ 2} {S_1} \). Що й треба було.

Для прикладу візьмемо єгипетський трикутник. Його периметр \ (P_1 = 3 + 4 + 5 = 12 \), а площа \ (S_1 = \ frac12 \ cdot3 \ cdot4 = 6 \). Подібний йому з коефіцієнтом подібності 2 трикутник буде володіти зазначеним властивістю: це прямокутний трикутник з катетами 6 і 8 (рис. 3, зліва). Можна розглянути і равносторонние трикутники. Серед них потрібною властивістю володіє трикутник зі стороною \ (4 \ sqrt % \): його площа і периметр рівні \ (12 \ sqrt % \).

Мал. 3.

Міркуючи аналогічно, можна показати, що в кожному класі подібних багатокутників існує такий, у якого числові значення площі і периметра рівні.

У тривимірному просторі природно додати умова на рівність обсягу, як і було зроблено в умові завдання.З рішення видно, що вже не кожен "тип" багатогранника допускає рівність обсягу, площі поверхні і сумарної довжини ребер: серед правильних n-угольних призм при n <12 таких немає.

Зокрема, немає таких куба і прямокутного паралелепіпеда (бо це чотирикутні призми). Для таких багатогранників, втім, легко зробити перевірку "в лоб". Наприклад, для куба це робиться так. Куб з ребром a має обсяг V = a3, площа поверхні S = 6a2 і суму довжин ребер P = 12a. якщо S = P, То 6a2 = 12a, тобто a = 2. Але тоді S = P = 24, а V = 8.

Проте для деяких багатогранників можуть працювати міркування, аналогічні тим, що були наведені для трикутника. Якщо розглядати всі багатогранники, подібні цьому, то сума довжин ребер буде змінюватися пропорційно першого ступеня коефіцієнта подібності, площа поверхні – пропорційно другого ступеня, а обсяг – пропорційно третього ступеня. Тобто завдання зводиться до такого питання: чи перетинаються відповідні пряма, парабола і кубика в одній точці? Зміна форми багатогранника в такому формулюванні відповідає зрушень цих кривих на площині.І досить очевидно, що в якихось випадках їх вийде розташувати так, щоб вони перетнулися в одній точці. Але ось чи можна якось розумно описати всі відповідні багатогранники? … Якщо у вас будуть ідеї на цей рахунок – пишіть в коментарях до завданню!


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: