Трикутник з цегли • Костянтин Кноп • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика

Трикутник з цегли

завдання

На будівництві лежала купа цегли червоного, жовтого і сірого кольору. Бригадир будівельників скомандував своїм робочим викладати з них трикутну стінку за таким правилом: для нижнього ряду взяти з купи 10 довільних цегли, потім на сусідні цеглини одного кольору класти цеглу того ж кольору, а на різнокольорові – цегла залишився кольору (приклад такої піраміди показаний на малюнку ).

У підсумку в верхньому ряду виявляється тільки одну цеглину. Бригадир-математик, глянувши на цеглу нижнього ряду, завжди швидко і точно вгадує, якого кольору буде верхню цеглу кладки. як він це робить?


Підказка 1

Знаючи нижній ряд, можна намалювати картинку всіх рядів цієї кладки (і зробити це швидше, ніж будівельники встигнуть її покласти). Давайте отметём цей спосіб як нехарактерний для математика (і недостатньо швидкий).


Підказка 2

Ясно, що конкретні кольору не важливі. Замість квітів можна використовувати числа, наприклад, 0, 1 і 2. Як тоді запишуться "правила додавання" нового цегли? Зрозуміло, що парі однакових чисел повинно відповідати таке ж: (0, 0) → 0; (1, 1) → 1; (2, 2) → 2. Парам різних чисел відповідає третя: (0, 1) → 2 і так далі.Всі ці відповідності можна виписати в одну табличку:

012
0021
1210
2102

А чи можна задати значення, наведені в цій табличці характеристик обладнання, таблично, а як-небудь інакше? Можна спробувати. Наприклад, одиниці в таблиці відповідають парам (0, 2), (1, 1) і (2, 0) – тим, у яких сума чисел дорівнює 2. А двійки? Вони відповідають парам (0, 1), (1, 0) і (2, 2) – тим, в яких сума дорівнює або 1, або 4. Нарешті, нулі відповідають парам (0, 0), (1, 2) і (2, 1) – тим, у яких сума дорівнює або 0, або 3. Це "або" трошки плутає: якби його не було, наприклад, якби ми твердо знали, що сумі 3 відповідає 0, сумі 1 відповідає 2, а сумі 2 відповідає 1, то ми б просто написали формулу відповідності: число3 = 3 − (число1 + число2). Через "або" правило буде трохи складніше: якщо в результаті число3 виявиться не таким, як потрібно, то до нього, можливо, доведеться додати 3 або відняти від нього 3. Але це не так вже суттєво. Головне, що у всіх випадках колір наступного цегли визначається сумою кольорів тих цеглин, які стоять під ним. Подумайте, як бригадир міг це використовувати.


Рішення

Замість формули "число3 = 3 – (число1 + число2) ", Виведеної в підказках 2, ми будемо використовувати більш просту:"число3 = – (число1 + число2) ".Адже все одно до результату може бути потрібно додавати 3 або -3, так що нічого страшного, якщо ми це додавання / віднімання трійки не будемо робити відразу ж, а "відкладемо на потім".

Нехай в нижньому (10-м) ряду лежать цеглини, яким відповідають 10 чисел: a, b, c, d, e, f, g, h, i, j. Наша формула дозволяє відразу ж виписати весь вищерозміщений (9-й) ряд:

(Ряд 9) – (a + b), -(b + c), -(c + d), -(d + e), -(e + f), -(f + g), -(g + h), -(h + i), -(i + j).

Але тоді і восьмий ряд теж виписується: над числами – (a + b) І – (b + c) Має бути записано число – (-abbc) = a + 2b + c. Таким чином, подвійні мінуси скоротилися, і восьмий ряд буде таким:

(Ряд 8) a + 2b + c, b + 2c + d, c + 2d + e, d + 2e + f, e + 2f + g, f + 2g + h, g + 2h + i, h + 2i + j.

Вважаємо далі. Числа сьомого ряду мають вигляд – (a + 2b + c + b + 2c + d) = -(a + 3b + 3c + d). Ось тут, мабуть, прийшов час згадати про те, що ми домовилися відкладати будь-які додавання і віднімання трійок "на потім", і зробити це ж саме зі складовими 3b і 3c, Кратними 3. Таким чином, можна вважати, що перше число сьомого ряду одно – (a + d). Тоді і весь ряд можна записати таким же чином:

(Ряд 7) – (a + d), -(b + e), -(c + f), -(d + g), -(e + h), -(f + i), -(g + j).

Далі у нас ряд 6, в якому знову скорочується подвійний мінус:

(Ряд 6) a + b + d + e, b + c + e + f, c + d + f + g, d + e + g + h, e + f + h + i, f + g + i + j.

У ряді 5 мінуси знову з'являються (прослідкуйте за першим членом, а далі все аналогічно):

(Ряд 5) – (a + 2b + c + d + 2e + f), -(b + 2c + d + e + 2f + g), -(c + 2d + e + f + 2g + h), -(d + 2e + f + g + 2h + i), -(e + 2f + g + h + 2i + j).

У ряді 4 скорочуються і мінуси, і купа доданків, при яких виявився коефіцієнт 3: замість a + 3b + 3c + 2d + 3e + 3f + g ми залишимо просто a + 2d + g:

(Ряд 4) a + 2d + g, b + 2e + h, c + 2f + i, d + 2g + j.

Цегли, а з ними і обчислень, стає все менше:

(Ряд 3) – (a + b + 2d + 2e + g + h), -(b + c + 2e + 2f + h + i), -(c + d + 2f + 2g + i + j);

(Ряд 2) a + 2b + c + 2d + 4e + 2f + g + 2h + i, b + 2c + d + 2e + 4f + 2g + h + 2i + j.

І, нарешті, цегла в верхньому ряду:

(Ряд 1) – (a + 3b + 3c + 3d + 6e + 6f + 3g + 3h + 3i + j) = -(a + j).

Що означає цей результат? Що колір верхнього цегли визначається сумою всього двох кольорів з нижнього ряду – а саме, квітів двох крайніх цеглин. Причому визначається за тим же правилом, за яким будівельники кладуть кожен наступний цегла: двом однаковим кольорам відповідає такий же, а двом різним – залишився. Звичайно ж, бригадир-математик всі ці обчислення і спрощення (аж до готового результату) виконав заздалегідь, так що в момент будівництва цегельного трикутника відразу дивився тільки на крайні цеглини нижнього ряду.


Післямова

Я спеціально постарався обійтися в рішенні найпримітивнішої алгеброю, щоб зберегти у читача відчуття "фокуса-покуса". Однак зараз саме час розібратися в суті цього фокусу трохи глибше.

По-перше, можна в якомусь сенсі забути про мінуси: як ми бачили,рядки з мінусами і без них просто чергуються, так що ми з самого початку могли б зрозуміти, що у верхньому рядку мінус буде.

По-друге, використане нами скорочення трійок (перший раз ми це зробили в восьмому рядку), хоча і зменшує обчислення, але затуманює суть. Якби ми цього не робили, то ми б у сьомому рядку побачили вираз виду a + 4b + 6c + 4d + e, В наступній – a + 5b + 10c + 10d + 5e + f, і так далі. Букви в цих сумах йдуть за алфавітом, але що собою представляють послідовності чисел 1, 4, 6, 4, 1, потім 1, 5, 10, 10, 5, 1, потім 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1? Кожен більш-менш розуміється на математиці людина дізнається в цих послідовностях рядки трикутника Паскаля:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

У цьому трикутнику кожне число дорівнює сумі двох чисел, що стоять на одну сходинку вище: безпосередньо над ним і сусіднього з ним (зліва). Власне, поява тут трикутника Паскаля не повинно нас дивувати; наприклад, число 15 – коефіцієнт при c в вираженні a + 6b + 15c + 20d + … – це сума двох коефіцієнтів при зОдин візьметься з виразу a + 5b + 10c + 10d + 5e + f, А інший – з виразу b + 5c + 10d + 10e + 5f + g. Інакше кажучи, це сума третього (10) і другого (5) коефіцієнта з попередньої рядки.

Таким чином, ми можемо дістатися і до потрібної нам рядки. Коефіцієнти в ній – 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1.І оскільки всі коефіцієнти, крім двох крайніх одиниць, діляться на 3, то це і дає потрібний результат "фокуса".

Тепер можна спробувати зробити ще один природний крок і задати питання: а для яких значень довжини нижнього ряду цегли (N) Буде працювати такий же фокус? Ми з'ясували, що годиться N = 10. Ще одне придатне N = 4 (ми вже бачили, що рядок 1 3 3 1 еквівалентна сумі двох крайніх доданків). А ще які значення годяться? Математичний еквівалент цього питання звучить так: за яких N всі коефіцієнти (N – 1) -го рядка трикутника Паскаля, крім крайніх, кратні 3? Це питання значно важче нашої вихідної завдання, але відповідь на нього все ж можна отримати цілком елементарними математичними методами: N – 1 повинно бути ступенем трійки. Інакше кажучи, наступне придатне для фокуса N одно 28, потім 82, 244, 730 і т. д. Детальніше про це, а також про узагальненнях завдання на інше кількість квітів, можна прочитати по-англійськи в статті Ерхарда Берендсен і Стіва Хамбл "Таємниці трикутника" ( "Triangle Mysteries", PDF, 552 Кб), опублікованій у другому номері журналу The Mathematical Intelligencer за 2013 рік (doi 10.1007 / s00283-012-9346-4).


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: