Три в одному • Євген Єпіфанов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика

Три в одному

завдання

скількома способами можна розрізати квадрат на три прямокутника, кожен з яких подібний до двох інших? Нагадаємо, що два прямокутника подібні, якщо сторони першого ставляться один до одного так само, як сторони другого. Способи, що відрізняються лише поворотом або віддзеркаленням квадрата, вважаються за один.


Підказка

Три прямокутника – це небагато, тому можна перебрати випадки розташування їх в квадраті і перевірити, чи можуть в кожному окремому випадку прямокутники, щоб були подібні.


Рішення

Якщо трохи помалювати розбиття квадрата на три прямокутника, щоб зрозуміти, як вони взагалі можуть в ньому розташовуватиметься, то досить швидко можна прийти до того, що є всього два різні випадки (з точністю до поворотів квадрата). Дійсно, до верхньої сторони квадрата можуть примикати три, два або один прямокутник. Якщо їх три, то виходить конфігурація, показана на рис. 1 зліва. Якщо два, то – конфігурація, показана на цьому малюнку праворуч. Якщо ж до верхньої сторони примикає тільки один прямокутник, то два інших розташовуються під ним, а їх загальна сторона або горизонтальна (і тоді це те ж саме, що перша конфігурація), або вертикальна (тоді це те ж саме, що друга конфігурація).

Мал. 1.

Про першу конфігурацію відразу ясно, що всі три прямокутника дорівнюють один одному: за умовою вони повинні бути подібні, але з розташування виходить, що дорівнюють їх бпрольшие боку.

Розберемося з другої конфігурацією. Будемо рахувати орієнтацією прямокутника напрямок його більш довгої сторони (ясно, що у нас тут фігурують тільки витягнуті прямокутники, у яких одна сторона довше іншої). Як можуть бути орієнтовані два верхніх прямокутника?

Вони не можуть бути обидва вертикальними (як на рис. 1), тому що тоді вони будуть рівні (бпрольшие боку збігаються), і тому відношення більшої сторони до меншої у них менше 2 (так як менша сторона дорівнює половині сторони квадрата, а велика не більш цілої боку квадрата). А у нижнього прямокутника це відношення буде більше 2. Значить, він не може бути подібним верхнім.

Вони можуть бути обидва горизонтальними (рис. 2, зліва). Тоді два верхніх прямокутника знову рівні і нескладно порахувати, що для того, щоб всі три прямокутника були подібними, потрібно, щоб сторони кожного ставилися один до одного як 3: 2.

Мал. 2.

Нарешті, чи може бути так, що один з верхніх прямокутників горизонтальний, а другий – вертикальний? Перевіримо. Ця ситуація зображена на малюнку 2 праворуч.Введемо позначення, як це малюнку. З огляду на подобу прямокутників, знаходимо:

\ [BE = \ dfrac1y, \ AD = xy. \]

Оскільки сторони квадрата рівні, отримуємо рівності:

\ [Y + \ dfrac1y = 1 + x = xy. \]

Праве рівність дозволяє висловити y:

\ [Y = \ dfrac {1 + x} %, \]

після чого з лівого рівності виходить рівняння

\ [\ Dfrac {1 + x} % + \ dfrac % {1 + x} = 1 + x. \]

Його можна переписати у вигляді

\ [X ^ 3-x-1 = 0. \]

У цього кубічного рівняння один дійсний корінь \ (\ rho \ approx1 {,} 3247 \ ldots \), так що такий випадок реалізується. Разом, є три способи розрізати квадрат на подібні прямокутники.


Післямова

Оскільки для кубічних рівнянь відомі формули, що дають точні рішення, то можна бути впевненим, що корінь є і він один. У радикалах це число записується так:

\ [\ Rho = \ dfrac {\ sqrt [3] {108 + 12 \ sqrt %} + \ sqrt [3] {108-12 \ sqrt %}} %. \]

Також його можна записати і у вигляді нескінченної послідовності вкладених один в одного радикалів:

\ [\ Rho = \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {1+ \ sqrt [3] {\ ldots}}}} \]

Цікаво, що у цього числа є своє "ім'я": голландський архітектор (і за сумісництвом монах) Ганс ван дер Лаан (Hans van der Laan) назвав його пластичним числом (Plastic number). Ван дер Лаан створив не дуже багато будівель і в основному це були церкви, але його теоретичні роботи мали певну вагу. Зокрема, він розробив теорію гармонійних співвідношень між елементами будівлі,в якій пластичне число грало центральну роль.

Мал. 3. Будинки, спроектовані Гансом ван дер Лаан. зліва: Бенедектінській монастир в Тумелілла, Швеція. справа: Інтер'єр абатства в Маастріхті, Нідерланди. Фото з сайту divisare.com

Таку назву по його задумом відображало те, що цього числа можна додати геометричні "форми". З одним прикладом такої форми ми познайомилися в завданні. Інший приклад виникає так. Припустимо, що є необмежений запас коробок (прямокутних паралелепіпедів) різних розмірів з цілими довжинами сторін. Почнемо з коробки 1 × 1 × 1, приставив до неї збоку ще одну таку коробку – вийде коробка 2 × 1 × 1. Приставив до неї спереду таку ж, щоб вийшла коробка 2 × 2 × 1. Приставив до неї знизу коробку 2 × 2 × 2, щоб вийшла коробка 2 × 2 × 3. Далі потрібно продовжувати так: приставляти нові коробки по черзі збоку, спереду, знизу, а розмір їх вибирати так, щоб два виміри (це розміри межі, до якої приставляється чергова коробка) збігалися з вимірами поточної коробки, а третій вимір було таким, яким вийшло змінилося вимір за два "ходу" до цього. Перші кроки показані на малюнку 4.Наприклад, п'ятим "ходом" справа приставляється коробка 2 × 2 × 3 і її "довжина" (вимір уздовж стрілок на цьому малюнку) дорівнює 2, тому що за два ходи до цього у коробки вийшла "ширина", що дорівнює 2 (це права коробка в верхньому ряду).

Мал. 4. Побудова "пластичної" коробки. Малюнок зі статті V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan's Plastic Number in the Plane

Якщо продовжувати цей процес, то розміри коробок будуть, природно, збільшуватися. Але ось відносини їх сторін ( "сусідніх" по довжині, як показано на рис. 4) будуть прагнути до кінцевого межі, яким і є пластичне число.

Ідея обґрунтування наступна. Зауважимо, що розміри коробок – це трійки стоять поруч чисел з послідовності 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, … Якщо позначити n-й член цієї послідовності Pn, То при n > 3 виконується рівність Pn = Pn−2 + Pn−3. Точніше, це лінійне рекурентне співвідношення і задає цю послідовність, яка називається послідовністю Падована (Padovan sequence). Виявляється, можна висловити загальний член рекуррентной послідовності через коріння її характеристичного многочлена. За вказаними посиланнями можна докладніше ознайомитися з цією темою, зараз важливо лише, що для даної послідовності характеристичний многочлен такий: \ (x ^ 3-x-1 \), а його дійсний корінь, як ми знаємо, – пластичне число ρ. Тому, до речі, послідовність ступенів цього числа 1, ρ, ρ2, ρ3, … задовольняє того ж рекурентному співвідношенню (з цього спостереження насправді і виникає спосіб висловлювання члена послідовності через коріння многочлена). У цього многочлена є і два комплексних кореня. Якщо їх позначити через q і s, То при деяких константи a, b, c рівність Pn = n + bqn + csn буде вірно при всіх натуральних n. Але оскільки комплексні корені q і s по модулю менше 1, їх ступеня прагнуть до нуля зі зростанням n.

У цьому сенсі пластичне число для послідовності Падована – це те ж саме, що інше (і куди більш відоме) "архітектурне" число – золотий перетин – для послідовності Фібоначчі (а срібне перетин – для чисел Пелля).

Ще про властивості пластичного числа можна почитати в статті V. W. De Spinadel, A. R. Buitrago Towards van der Laan's Plastic Number in the Plane.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: