Точне позиціонування • Євген Анікін, Євген Єпіфанов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Математика, Фізика

Точне позиціонування

завдання

Багато знайомі з системами супутникової навігації. Найвідоміші – російська ГЛОНАСС і американська GPS – зараз використовуються мало не повсюдно в автомобільних навігаторах і смартфонах. У загальних рисах схема роботи цих систем наступна. Сімейство супутників координується наземними керуючими центрами, щоб кожен супутник "знав" своє становище і щоб час на них було синхронізовано. Супутники постійно передають на Землю ці дані (просторові координати і час), а призначені для користувача пристрої приймають їх і намагаються обчислити свої координати в реальному часі.

Виходячи з такої спрощеної схеми, скажіть, скільки супутників повинен одночасно "бачити" приймач користувача, щоб точно (скажімо, з помилкою в межах 20 м) визначати своє становище?


Підказка

Завдання приймача – обчислити свої координати за даними, що приходять від супутників. Координати – це три просторові змінні, тому потрібна система з не менше ніж трьох рівнянь, щоб їх визначити (тобто потрібні дані мінімум з трьох супутників). Подумайте, як можуть виходити ці рівняння в рамках нашої спрощеної ситуації і за якою технічних причин трьох рівнянь насправді не вистачає.


Рішення

Отже, приймач користувача – скажімо, навігатор, – отримує від кожного з супутників сигнал з трьома просторовими координатами супутника і часом відправлення цього сигналу. Цих даних достатньо, щоб двома способами висловити відстань від супутника до навігатора і отримати потрібні рівняння.

Якщо шукані координати навігатора (x, y, z), А координати супутника (xs, ys, zs), То по теоремі Піфагора відстань між ними одно

\ (\ Sqrt {(x-x_s) ^ 2 + (y-y_s) ^ 2 + (z-z_s) ^ 2} \).

Сигнал від супутника поширюється зі швидкістю світла з, Тому якщо він був виданий в момент часу t0, А отриманий навігатором в момент t1, То те ж саме відстань дорівнює c(t1t0). Це і дає рівняння. Дані з трьох супутників дозволяють скласти систему з трьох рівнянь на три невідомих (x, y, z). У чому ж підступ?

У тому, що невідомих насправді не три, а чотири, тому що розраховувати на високу точність годин в навігаторі можна. Наприклад, помилка на одну десятитисячний відсотка – коли замість однієї секунди годинник відміряють 1,000001 секунди, а за місяць набігає всього близько двох з половиною зайвих секунд, – дасть похибку близько 20 метрів при визначенні відстані до супутника.У звичайних годин точність ходу в кілька разів нижче і помилка кратно зростає. Тому в розрахунки вводять ще одне невідоме – помилку годин приймача. Через і цього виникає необхідність в ще одному рівнянні, а значить, супутників повинно бути хоча б чотири.


Післямова

У реально працюючих системах супутникової навігації все, звичайно, набагато складніше. У розрахунку координат навігатора різними способами враховуються багато факторів, які вносять похибки в визначення точного положення: це і проблеми з визначенням положення самих супутників, і вносяться атмосферою спотворення сигналу, і навіть релятивістські ефекти. Докладне обговорення цих питань можна знайти в статті Error analysis for the Global Positioning System, а також зазначеної в ній літературі.

Супутники ГЛОНАСС розташовуються на кругових орбітах заввишки 19 400 км. Зараз в угрупованні 27 супутників, 24 з яких використовуються за цільовим призначенням (ще два в резерві і один знаходиться на етапі випробувань). Як видно з малюнка, орбіти супутників діляться на три сімейства.

Орбіти супутників системи ГЛОНАСС (сині лінії). Самі супутники позначені червоними крапками. сірі точки – інші супутники.Видно, що Земля оповита «хмарою» з великого числа навколоземних супутників, а також проглядається сімейство супутників на геостаціонарній орбіті. Зображення з сайту stuffin.space

Виникає наступне питання: а яку мінімальну кількість супутників потрібно, щоб забезпечувати повне покриття Землі і щоб в будь-який момент часу з будь-якої точки поверхні було видно чотири супутники? Зрозуміло, тут відразу потрібно зробити багато спрощень, звівши завдання до чисто геометричній (правда, геометрія тут сферична): Землю потрібно вважати сферою, орбіти – колами, центри яких співпадають з центром сфери, орбіти з одного сімейства – збігаються. Чи можна, не вдаючись до допомоги комп'ютера, отримати точну оцінку мінімальної кількості супутників?

За розрахунками авторів завдання, для ГЛОНАСС теоретично 18 супутників може вистачити. Якщо хто-небудь з читачів порівняно простим способом (і без допомоги комп'ютера) отримає меншу оцінку, ми будемо раді про це дізнатися. У загальних рисах міркування наступне. Нехай по екваторіальній орбіті радіусом 25 800 км обертаються шість супутників через рівні проміжки. Тоді можна обчислити, що на широтах менше 60 ° завжди видно не менше двох супутників.

Справді, супутник на такій орбіті видно з сферичного кола з радіусом

\ (\ Alpha = \ frac \ pi2- \ mathrm % \ left (\ frac R {r_s} \ right) \ approx75 {,} 6 ^ \ circ \),

де R = 6400 км – радіус Землі, а rs = 25 800 км – радіус орбіти супутника. Слово "радіус" (та інші відсилання до довжин) у цій Угоді означає сферичний радіус, тобто кутову міру дуги великого кола сфери. Раз супутники розподілені по орбіті рівномірно, то центри відповідних кіл (областей видимості) відстоять один від одного на 60 ° по екватору. Якщо намалювати три таких послідовних кола, то видно, що над центром середнього з них є зона, в якій видно тільки один супутник. Нижня точка цієї зони – це точка перетину сусідніх із середнім кіл. Тому максимальна широта зони, звідки завжди видно не менше двох супутників, – це висота сферичного трикутника зі сторонами (2π / 3, α, α). Висоту можна знайти за формулами Непера, тому що вона ділить цей трикутник на два рівних і утворює прямий кут з екватором.

Таким чином, для кожної орбіти є дві сферичні "шапки" з радіусом менше 30 °, де не завжди видно хоча б два супутника. Три такі "шапки" легко розташувати на півсфері без перетинів: можна вибудувати "в ряд" уздовж великого кола, що проходить через полюс.Вони не вилізуть за півсферу, тому що "розчин" центрального кута для кожної "шапки" менше 60 °, тобто всі три "шапки" укладаються в 180 °. Раз їх можна так розташувати, то відповідні три орбіти з шістьма супутниками на кожній будуть покривати всю Землю і з кожної точки земної поверхні завжди буде видно по чотири супутники. Адже якщо ми знаходимося всередині "шапки", що належить якійсь одній орбіті, то ми знаходимося поза двох інших "шапок", а на кожній з відповідних двох орбіт ми бачимо завжди не менше двох супутників.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: