Ступенева залежність з нічого • Ігор Іванов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Ступенева залежність з нічого

Статечних залежностей у фізиці – хоч греблю гати. Якісь величини залежать один від одного за лінійним законом, якісь – за квадратичним, кубічному і так далі. Є і дрібно-статечні залежності: квадратні корені (показник дорівнює 1/2) та інші більш складні ступеня. Такі залежності постійно зустрічаються в шкільних завданнях, так що ніякого подиву вони не викликають. До слова, на цих залежностях можна навіть побудувати цілу теорію подібності та розмірностей і, користуючись нею, робити обчислення.

Мал. 1. Потік частинок космічних променів, що бомбардують Землю, змінюється від 1 частки в секунду через квадратний сантиметр при енергії нижче 1 ГеВ до 1 частки в кілька років через квадратний кілометр при енергіях вище 1019 еВ. У всьому цьому величезному діапазоні потік залежить від енергії приблизно за степеневим законом з нецілим показником. Графік зі статті M. Duldig, 2006. Cosmic Rays Track the Rotation of the Milky Way

Однак в природі іноді трапляються і статечні залежності, в яких показник – не ціла кількість і навіть не дріб, а просто якась "кострубата" чисельна величина. Один з найяскравіших прикладів – це енергетичний спектр космічних променів, заряджених частинок, які прилітають з глибокого космосу.Вимірювання показують, що енергії цих частинок лежать в величезному інтервалі шириною в 12 порядків: від часток ГеВ до 1021 еВ. Чим більше енергія частинок, тим рідше вони зустрічаються (рис. 1). Але вражає, що залежність ця – приблизно статечна, з "негарним" показником. Енергетичний спектр потоку космічних променів (тобто кількість прилітають частинок в розрахунку на 1 ГеВ енергії) приблизно відповідає формулі

.

Насправді ця залежність не зовсім точна, і в різних енергетичних діапазонах показник приймає злегка відрізняються значення. Але це не скасовує загальний факт: існують досить широкі інтервали енергій, в яких залежність потоку космічних променів від енергії дуже близька до статечної з якимось дивним показником. А раз так, така "кострубата" ступенева залежність вимагає пояснення.

завдання

У цьому завданні ми не пропонуємо вам обчислити величину статечного показника – це завдання непросте. Тут потрібно лише пояснити на прикладі космічних променів, звідки у фізиці взагалі беруться "кострубаті" статечні закони. Ми дамо вам докладне пояснення фізичного механізму розгону часток космічних променів, а ви спробуйте, спираючись на свій фізичний чуття, здогадатися про походження статечної залежності.

Мал. 2. Ударна хвиля біжить крізь турбулентну намагнічену міжзоряне середовище і, підхоплюючи заряджені частинки, прискорює їх до високих енергій

Отже – трошки сучасної астрофізики. Вважається, що джерелами значної частини космічних променів високої енергії є ударні хвилі в глибокому космосі (рис. 2). Фронт ударної хвилі біжить через міжзоряне середовище і ущільнює її. Це середовище намагнічена і, до того ж, турбулентна, а значить, і магнітне поле в ній – хаотично заплутане, як до, так і після проходження ударної хвилі. Тому тут не працюють такі прості закони руху заряджених частинок, які ми розбирали в минулому завданні. Замість цього можна вважати, що заряджена частинка рухається в цьому хаотичному магнітному полі якось зовсім заплутано.

Ударна хвиля грає роль прискорювача. Вона підхоплює заряджену частинку і, постійно перекидаючи її з області перед ударним фронтом в область позаду нього, а потім – назад, збільшує її енергію. На якомусь етапі частка вивалюється з цього процесу, більше не прискорюється і, як і раніше петляючи, відлітає геть. Нехтуючи наступними втратами, ми будемо вважати, що ту енергію,яка вона придбала в ході цього процесу, ми і зареєструємо на Землі, коли ця частка долетить до нас.

Спираючись на цю картину процесу прискорення, поясніть, Як так виходить, що число часток, розігнаних до енергії E і вище, залежить від E за степеневим законом.


Підказка 1

Тут треба відчути два явища. Перше – власне прискорення; як так виходить, що, переходячи з області перед фронтом в область позаду нього, а потім – назад, частка прискорюється. А для цього треба спочатку зрозуміти, що відбувається з міжзоряним середовищем після проходження ударної хвилі, яка, підкреслимо, її ущільнює. Постарайтеся також з'ясувати, в цілому, наскільки зростає енергія після кожного циклу переходу через фронт ударної хвилі туди-назад.

А по-друге, треба зрозуміти, чому частки не продовжують постійно прискорюватися в цьому процесі, а вивалюються з нього. Навіть якщо ви не знаєте деталей, як це відбувається, ви можете спробувати сформулювати сам цей факт в загальних термінах. Цього вже буде досить для того, щоб вирішити задачу.


Підказка 2

Фронт ударної хвилі не тільки стискає середу, але і приводить її в рух.Найзручніше це побачити в системі відліку, пов'язаної з фронтом. З одного боку на нього набігає міжзоряний газ, а з іншого боку – він іде. Але оскільки щільності до і після різні, то і швидкості «втекания» і «витікання» відрізняються. Подумайте, як це виглядає в вихідної системі відліку. Врахуйте тепер, що, перетинаючи фронт ударної хвилі, частка раптом відчуває себе в інших умовах, в іншому середовищі, і швидкість і енергія частинки повинна обчислюватися щодо саме цього середовища.

З другим питанням ви зможете розібратися, якщо подивитеся на частки в системі відліку другого середовища. Уявіть собі, як рухається там частка і що їй треба зробити, щоб повернутися в першу середу.


Рішення

На рис. 3 показаний фронт хвилі в трьох системах відліку: у вихідній, де ударна хвиля біжить через нерухому в цілому середу, в системі фронту, де є набігає і тікає течії, і, нарешті, в системі спокою другого середовища. Розглянемо спочатку процес в системі фронту. Оскільки щільності до і після фронту різні, то і швидкості в другій системі відліку теж різні, адже потік речовини повинен бути незмінним. А це означає, що у вихідній системі відліку все середовище цілком рухається в ту ж сторону, що і фронт, але тільки повільніше: u <v. Схожа картина спостерігається і в системі спокою другого середовища, з тією лише різницею, що швидкість першого середовища і швидкість ударної хвилі спрямовані в різні боки.

Мал. 3. Три системи відліку: вихідна система (зліва), Система відліку ударної хвилі (в центрі), І система спокою середовища 2 (справа). довжина стрілок вказує швидкості руху середовища або фронту ударної хвилі

З цього міркування стає ясно, що обидві середовища як би набігають один на одного, А частка метається між ними. Коли вона перетинає фронт хвилі, вона влітає в середу, яка вже рухається їй назустріч. З точки зору цього середовища частка вже підвищила свою енергію. Петляючи всередині другого середовища в складному магнітному полі, частка енергію не втрачає. Але коли вона перетинає кордон назад, вона знову влітає в середу, яка рухається їй назустріч.

Це дуже схоже на відому механічну завдання: дві стінки повільно зближуються один з одним, а між ними літає кульку, пружно відскакуючи від стінок. Якщо швидкість кульки v, Швидкість стінки – u, То після відскоку швидкість кульки зростає до v + 2u, А кінетична енергія збільшується приблизно в (1 + 4u/v) Раз.У нас – релятивістська різновид цієї ж завдання; стінками служать дві середовища, а швидкість v дуже близька до швидкості світла і майже не змінюється. Проте за рахунок релятивістських законів кожен раз зростає енергія частинки. Звідси випливає загальний висновок: при кожному перетині фронту туди-назад енергія частинки зростає в якусь кількість разів (позначимо це число через c). Чому дорівнює цей множник – неважливо, головне, що він не залежить від енергії частинки (цей факт – найпростіше наслідок перерахунку енергії релятивістської частинки при переході в іншу систему відліку). Тому якщо початкова енергія частинки була E0, То після n таких циклів її енергія зросте до

.

Але взагалі-то ми не можемо гарантувати, що, потрапивши в другу середу, частка обов'язково повернеться в першу. Адже в системі спокою другого середовища фронт тікає від хаотично блукає частки. Якщо частка не повернулася до фронту досить швидко, то вона вже більше його не наздожене, а значить, вона випаде з процесу прискорення. Імовірність того, що хаотично блукаюча частинка наздожене фронт ударної хвилі, що не дуже проста для розрахунку. Але знову ж таки, нам не треба її обчислювати.Достатньо лише відчути, що, оскільки цей процес чисто геометричний, ймовірність повернення теж не залежить від енергії. Позначимо цю ймовірність через p. Отже, якщо спочатку у нас було N0 частинок, готових до прискорення, то після n циклів у нас залишилося

частинок.

Залишилося об'єднати два результату. Висловивши з першої формули n і підставивши в другу, отримуємо, що кількість частинок, прискорених до енергії E і вище, виражається формулою

Ось і вийшла шукана статечна залежність з "корявим" показником, який зовсім не виражається красивим числом, а випливає з складних фізичних розрахунків. Якщо ми хочемо отримати спектральний розподіл – тобто не загальна кількість частинок з енергією вище E, А кількість частинок, що потрапило в інтервал від E до E + 1 ГеВ, – то показник збільшиться ще на одиничку. Число 2,7, описане вище, відноситься якраз до цієї величини γ + 1.


Післямова

Обчислювальну суть цього завдання можна звести до такого простого спостереження: статечні закони з незграбними показниками виникають тоді, коли лінійно залежать один від одного не самі фізичні величини, а їх логарифми. Тут ми розглянули задачу з фізики плазми, але взагалі такі ситуації зустрічаються і в інших областях фізики. Наприклад, у фізиці елементарних частинок є поняття "біжать параметрів" – це коли деякі величини залежать від того, за яких енергіях їх вимірюють. Такі, наприклад, маси кварків: вони статечним чином залежать від енергії зіткнення частинок з досить незграбним показником ступеня. У фізиці конденсованих середовищ, при температурах поблизу температури фазового переходу другого роду Tcr, Теж багато величини залежать від T – Tcr за степеневим законом. Показники ступеня в цій ситуації називаються критичними показниками і, в найпростішому наближенні, обчислюються за допомогою теорії критичних явищ Ландау.

Повернемося тепер до космічних променів і до їх розгону на фронті ударної хвилі. Цей механізм розгону називається фермієвського механізмом першого порядку (first-order Fermi acceleration) і був розроблений в кінці 1970-х років радянським фізиком Г. Ф. Кримським і західними дослідниками (див., Наприклад, огляд Е. Г. Бережко, Г. Ф . Кримський, 1988. Прискорення космічних променів ударними хвилями). Якщо виконати розрахунок акуратно, то навіть в найпростішому наближенні виходить коефіцієнт

де число r показує, у скільки разів стискуваним середовищем ударною хвилею. У разі сильної ударної хвилі r = 4, тому спектральний показник виходить рівним γ + 1 = 2, що вже не так погано (вимірювання, нагадаємо, дають число близько 2,7).

Існують і інші механізми, в тому числі і той, який фізик Енріко Фермі придумав ще в 1949 році і який зараз називається фермієвського механізмом другого порядку. Можна і далі ускладнювати розрахунки (які неминуче перетікають в чисельне моделювання), враховувати тонкощі фізики плазми і ударних хвиль, брати до уваги ті умови, які існують в реальних астрофізичних ситуаціях, а також намагатися врахувати втрати, як енергії, так і самих частинок. Всім цим фізики займаються вже багато років і досягають певних успіхів, хоча повністю задовільною у всіх сенсах теорії поки не побудовано.

Ну і останній момент. На різних ділянках величезного діапазону енергій космічних променів показник ступеня злегка розрізняється. Десь він ближче до 2,5, десь ближче до 3, причому переходи між цими областями досить-таки різкі (рис. 4). У найпершому наближенні можна весь спектр розділити на чотири ділянки. Перший простягається до 1015 еВ, потім відбувається злам, званий "коліном", і далі спектр падає з енергією крутіше,але після проходження зворотного зламу, "кісточки", в районі 1018,5 еВ він знову злегка випрямляється. Нарешті, в області надвисоких енергій, 1020 еВ, повинен вступати в гру ефект Грайзена-Зацепіна-Кузьміна, але фізики досі обговорюють, наскільки надійно він проявляється в даних.

Мал. 4. Той же потік космічних променів, але домноженний на E2,5, Чітко показує, що на різних ділянках спектра показники статечної залежності злегка розрізняються. Графік зі статті T. Pierog, 2013. Connecting accelerator experiments and cosmic ray showers

Спектр у вигляді ділянок з різними показниками, розділеними зламами, означає, що космічні промені різних діапазонів енергій виходять за рахунок різних механізмів, ну або, принаймні, розганяються різними астрофізичними об'єктами. З одного боку, це ускладнює завдання, але з іншого боку, робить ситуацію ще більш цікавою. Така проста річ як показник ступеня стає джерелом дуже цінної інформації про те, як взагалі функціонує наш всесвіт і окремі об'єкти в ній.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: