Стрибають м'ячики • Айк Акопян • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Стрибають м'ячики

завдання

а) Тенісний м'яч лежить нерухомо на баскетбольному, діаметр якого дорівнює 25 см (рис. 1, зліва). Маса баскетбольного м'яча багато більше маси тенісного. На яку висоту підскочить тенісний м'яч після відскоку від землі, якщо цю систему відпустити з висоти h = 1 м (висота вважається від нижньої кромки баскетбольного м'яча)? Всі зіткнення можна вважати абсолютно пружними.

Мал. 1.

б) Тепер уявімо, що є ціла "вежа" з n м'ячів, що покояться один на одному, причому кожен наступний м'яч у багато разів легше того, на якому він лежить (рис. 1, справа). Нехай нижня кромка самого нижнього м'яча знаходиться на висоті h від землі, а нижня кромка самого верхнього – на висоті h + l (причому lh). скільки м'ячів повинно бути в башті, щоб після відскоку від землі верхній підскочив на висоту 1 км? при якому n верхній м'яч зможе покинути поле тяжіння Землі?


Підказка

Для тенісного м'яча при зіткненні баскетбольний м'яч буде як стінка. Іншими словами, на рух баскетбольного м'яча взаємодія з тенісним ніяк не вплине.

Також можна прийняти, що між м'ячами є невелика відстань, і тому зіткнення баскетбольного м'яча з землею і м'ячів між собою можна розглядати окремо (на відповідь це не вплине).


Рішення

а) Давайте для простоти припустимо, що м'ячі спочатку не стикаються, а знаходяться на деякій невеликій відстані один від одного. Так як зіткнення абсолютно пружні, на кінцеву відповідь це не вплине.

Безпосередньо перед торканням з землею обидва м'ячі будуть рухатися вниз зі швидкістю \ (v = \ sqrt % \). Баскетбольний м'яч відбивається від землі і починає рухатися вгору з тією ж швидкістю v, Тенісний м'яч в цей момент все ще рухається вниз зі швидкістю v. Зіткнення баскетбольного м'яча з тенісним – це як зіткнення зі стінкою, швидкість баскетбольного м'яча майже не зміниться.

В системі відліку, пов'язаної з баскетбольним м'ячем, ми б побачили, що спершу тенісний м'яч наближався до нього зі швидкістю 2v, Потім відбився і став рухатися в протилежному напрямку з тією ж швидкістю 2v. Таке судження можна проводити, тільки коли маси взаємодіючих тіл дуже сильно відрізняються.

Перейшовши назад в лабораторну систему відліку, робимо висновок, що тенісний м'яч після зіткнення матиме швидкість 2v + v = 3v, Спрямовану вгору. Таким чином, він відлетить на висоту

\ [H = d + \ frac {(3v) ^ 2} % = d + 9h = 9 {,} 25 ~ \ text {м}. \]

Як видно, за умови, що маси м'ячів розрізняються досить сильно і що все зіткнення абсолютно пружні, верхній м'яч підлетить в 9 разів вище, ніж був спочатку. На малюнку 2 показаний такий експеримент. Через різні "неідеальних" ефектів, на зразок непружності зіткнень і тертя з повітрям, реальна висота виходить трохи менше.

Мал. 2. Експеримент з баскетбольним і тенісним м'ячами. Кадри з відео Stacked Ball Drop

б) Будемо діяти индуктивно. нехай м'яч Bi досягає швидкості vi після зіткнення з попереднім (тим, який відразу під ним) м'ячем Bi−1. Яка буде швидкість vi+1 м'яча Bi+1 після зіткнення з м'ячем Bi?

Безпосередньо перед зіткненням м'яч Bi+1 падає вниз зі швидкістю v, А м'яч Bi рухається вгору зі швидкістю vi. Тобто відносна швидкість м'ячів перед зіткненням дорівнює vi + v. Міркуючи аналогічно пункту а), Отримуємо, що відносна швидкість збережеться, і тому швидкість м'яча Bi+1 буде дорівнює

\ [V_ {i + 1} = (v_i + v) + v_i = 2v_i + v. \]

За допомогою цієї рекуррентной формули можна отримати для швидкості n-го м'яча вираз

\ [V_n = (2 ^ n-1) v. \]

Щоб м'яч підскочив на висоту H, Його швидкість у землі повинна бути не менше \ (v_0 = \ sqrt {2gH} \). при H = 1 км швидкість v0 ≈ 140 м / с. Так як v ≈ 4,4 м / с, то v0/v + 1 ≈ 32,8> 32. Значить, n має бути не менше 6. Тут не враховано, що самий верхній м'яч починає летіти вгору не біля самої землі, а з висоти "вежі", але нескладно порахувати, що для того, щоб вистачило п'яти м'ячів, висота "вежі" повинна бути близько 75 метрів. Великі повинні бути м'ячі, в загальному.

Якщо ми хочемо, щоб верхній м'ячик покинув Землю, то він повинен набрати принаймні другу космічну швидкість (приблизно 11160 м / с). Можна легко перевірити, що якщо кульок 11, то швидкість верхнього при відскоку дорівнює приблизно 9007 м / с, а якщо кульок 12, то – 18018 м / с.


Післямова

Звичайно, до реальності отримані цифри не мають ніякого відношення. По-перше, ми вважали що маса кожної наступної м'яча багато менше маси попереднього. Так, якщо нижній м'яч важить 1 кг, а кожен наступний хоча б в 10 разів легше, то при n = 5 найлегший м'яч повинен буде важити 0,1 грам, що приблизно дорівнює масі піщинки. Про 12 кульок навіть говорити зайве.

Ми також припускали, що центри м'ячів ідеально збігаються із загальною віссю "вежі", що на практиці реалізувати майже неможливо, і тому швидкості відлітають м'ячиків будуть спрямовані в абсолютно довільних напрямках (рис. 3). Зважаючи на все це отриманий результат, звичайно ж, лише груба математична абстракція, далека від реальності.Хоча вона досить яскраво демонструє які абсурдні фізичні результати можна отримати при зайвої ідеалізації завдання.

Мал. 3. Експеримент з багатьма м'ячами. Кадри з відео Stacked Ball Drop

Трохи докладніше розглянемо ефект пружного зіткнення важкого об'єкта з легким. У разі, коли важкий об'єкт (стінка) бездвіжен, швидкості, з якими легкий кульку вдаряється об стінку і відскакує від неї, рівні. У разі ж коли стінка рухається, потрібно зробити той самий трюк з переходом в систему відліку стінки, який ми зробили раннє: якщо стінка рухається зі швидкістю u назустріч м'ячику, налітаючого зі швидкістю v, То кулька відскочить від неї зі швидкістю 2u + v, Отримавши подвоєну швидкість стінки.

Схожий підхід використовується в космічних місіях для здійснення так званого гравітаційного маневру. Космічний апарат (м'ячик) рухається зі швидкістю v щодо Сонця проти орбітального руху планети (стінка), у якій швидкість u. Роль еластичного зіткнення тут грає гравітація, яка змінює напрямок руху корабля на протилежне: планета "не відчує" присутності корабля,а корабель отримає швидкість рівну подвоєною орбітальної швидкості планети.

Мал. 4. Гравітаційний маневр космічного корабля у планети в термінах швидкостей v і u. Малюнок з сайту ef.engr.utk.edu

Такі гравітаційні маневри (влаштовані, звичайно, трохи складніше) використовуються для безкоштовного "розгону" космічних кораблів. Зокрема, закінчив кілька днів тому свою місію апарат "Кассіні" на шляху до Сатурну зробив цілих чотири гравітаційних маневру: двічі у Венери і по разу у Землі і Юпітера (див. Також Великий фінал "Кассіні"). "Вояджер-1" – найдальший від Сонця створений людиною об'єкт (зараз знаходиться на відстані 140 а. Е.), Також розганявся за допомогою гравітаційних маневрів у Юпітера і у Сатурна.

Мал. 5. Аналог гравітаційного маневру з різними орієнтаціями руху планети (чорна точка) І корабля (синя точка). випадок (E) – це якраз те, що бачить спостерігач на планеті: швидкості «прильоту» і «відльоту» корабля рівні. Анімація з сайту en.wikipedia.org


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: