Швидкість радіально поляризованого світла • Ігор Іванов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Швидкість радіально поляризованого світла

Мал. 1. Радіально поляризоване світло в поперечній площині. кольором показана інтенсивність світлового поля, стрілочки – вектора електричного поля в різних точках площини. Зображення зі статті Optics Express, 7, 77-87 (2000)

Швидкість світла у вакуумі, що позначається латинською літерою c, – це одна з найважливіших фізичних констант. Всім добре відомо, що світловий промінь летить у вакуумі саме з такою швидкістю, як і вона була його інтенсивність або довжина хвилі. Насправді це твердження не зовсім вірно. Світло рухається зі швидкістю строго рівній c тільки в тому випадку, якщо він є нескінченну у всіх напрямках плоску хвилю (Що це таке, пояснено нижче). Але справжніх плоских хвиль в природі не буває, тому швидкість реального світлового променя у вакуумі неминуче відрізняється від c. У більшості випадків, якщо розбіжність світлового пучка невелика, ця відмінність дуже мала, і помітити його важко. Однак можна створити такий пучок світла, в якому відмінність буде істотним. У цьому завданні якраз і пропонується знайти швидкість поширення спеціального світлового пучка з циліндричної симетрією.

Та, що біжить плоска монохроматична хвиля
(Довідковий матеріал)

Для початку треба розповісти, як описується хвиля, що біжить. Взагалі, хвиля – це коливання (тобто періодичне зменшення і збільшення) якоїсь величини, яке поширюється в просторі (рис. 2). У разі світла коливаються електричне та магнітне поля, в разі звукової хвилі коливається щільність середовища, в разі хвилі на воді коливається рівень рідини. Позначимо цю коливається величину через a і будемо для простоти вважати, що вона коливається щодо нуля.

Мал. 2. Характеристики плоскою монохроматичному хвилі. зліва: Одномірна хвиля в різні моменти часу, справа: Двовимірна хвиля і напрямок хвильового вектора

У будь-якої хвилі є два типи періодичності – в часі і в просторі. Для найпростішої хвилі залежність величини, що коливається від часу в якійсь фіксованій точці простору виражається таким законом: a(t) = A cos (ωt), Де A – це амплітуда хвилі, а ω – її частота. Період коливань пов'язаний з частотою: T = 2π / ω. Якщо ж, навпаки, зафіксувати момент часу, то у хвилі буде просторова періодичність, яка виражається такою формулою: a(r) = A cos (k·r).Всі жирні букви позначають тривимірні вектори: r – це вектор координат, k – це так званий хвильовий вектор, а k·r – їх скалярний добуток. Хвильовий вектор – це характеристика хвилі, що показує її просторову періодичність, як би просторовий аналог частоти. напрямок вектора k показує, в який бік дивляться "гребені хвиль", а довжина хвилі пов'язана з модулем цього вектора: λ = 2π /k.

Якщо ми хочемо отримати біжучий хвилю, Що рухається в напрямку вектора k, Треба записати і координатну, і временную залежність: a(r, t) = A cos (k·r – ωt). Все вираз, яке тут стоїть під косинусом, називається фазою хвилі. Ця формула описує монохроматичну плоску хвилю. "Монохроматична" означає, що у неї фіксована частота (тобто "колір"), а "плоска" означає, що поверхні однакової фази є площині, перпендикулярні хвильовим вектором.

Щоб знайти швидкість плоскої монохроматичної хвилі, зробимо невеликий перетворення всередині косинуса:

a(r, t) = A cos (k·r – ωt) = A cos [k(rvt)].

вектор v направлений уздовж k, А його модуль дорівнює v = ω/k. завдяки висловом rvt видно що v і є швидкістю хвилі (а точніше, фазовою швидкістю): з плином часу весь фронт хвилі зміщується вперед якраз з такою швидкістю. В принципі, v може залежати від ω; це явище називається дисперсією. Але для світла у вакуумі ця швидкість завжди по модулю дорівнює з для будь-якої частоти. Саме тому і затверджується, що швидкість світла у вакуумі – константа.

Важлива властивість хвиль полягає в тому, що їх можна накладати один на одного. Якщо хвиля "не заважає сама собі" (у фізичній термінології – хвиля лінійна), то окремі хвилі будуть просто проходити один крізь одного без взаємодії. Наприклад, вираз

a(r, t) = A1 cos (k1·r – ω1t) + A2 cos (k2·r – ω2t)

описує дві накладені один на одного хвилі з різними амплітудами, частотами і хвильовими векторами. Якщо частоти збігаються, а напрямки хвильового вектора – немає, то хвиля буде як і раніше монохроматичної, але вже не плоскою. Зрозуміло, можна також накладати один на одного не тільки дві, але і більше хвиль, і навіть нескінченне їх число.

Перейдемо тепер безпосередньо до задачі і побудуємо спеціальний приклад неплоскою електромагнітної хвилі, відомої під назвою радіально поляризоване світло. Для цього виберемо вісь z і накладемо один на одного нескінченне число монохроматичних плоских хвиль однакової частоти і амплітуди, що біжать під кутом α до осі z. Хвильові вектора всіх цих хвиль однакові по модулю, але відрізняються азимутними напрямками. У декартовій системі координат хвильової вектор будь-якої з цих плоских хвиль запишеться так:

k = k(Cosφ · sinα, sinφ · sinα, cosα),

де кут α фіксований, а азимутальний кут φ – змінний, він якраз характеризує, в якому напрямку біжить кожна конкретна плоска хвиля в цьому сімействі хвиль. Нарешті, для кожної плоскої хвилі задамо поляризацію так: хвиля лінійно поляризована і вектор електричного поля лежить в площині, заданої вектором k і віссю z. І останній штрих: будемо вважати, що всі хвилі скоординовані по фазі, тобто в точці r = 0 і в момент часу t = 0 у всіх у них однакова нульова фаза. Мал. 3, на якому хвильові вектора замітають поверхню конуса, повинен допомогти візуалізувати це побудова.

Мал. 3. Світловий пучок, що складається з набору всіляких плоских хвиль, хвильові вектора яких підходять під кутом α до осіz. Синіми стрілками показані хвильові вектора деяких з плоских хвиль, червоним кольором – вектора електричного поля для пари хвиль, чиї хвильові вектора лежать в площині (xz)

Радіально поляризованим такий світловий пучок називається тому, що, якщо його спроектувати на поперечну площину, вектора електричного поля будуть стирчати "їжачком", уздовж радіального напряму (рис. 1).

завдання

З'ясуйте, В який бік рухається така хвиля і з якою фазовою швидкістю.


Підказка

Підсумувати нескінченне число хвиль, та ще й в тривимірної геометрії, важко. Однак все хвилі з цього сімейства можна розбити на пари з протилежними кутами φ (тобто у яких кути φ відрізняються рівно на π). Тому розгляньте спочатку одну таку пару, яка відповідає тим двом хвилям, у яких на рис. 3 показані вектора електричного поля. Запишіть для них явно залежність електричного поля від часу і, використовуючи властивості синусів і косинусів, складіть дві хвилі.

Після цього подумайте, що відбудеться при підсумовуванні всіх таких пар.


Рішення

Дотримуючись підказкою, вибираємо дві хвилі з протилежними кутами φ і записуємо сумарне електричне поле:

Потім використовуємо формулу для косинуса суми і різниці кутів

cos (a + b) = Cos a· cos b – sin a· sin b,
cos (ab) = Cos a· cos b + sin a· sin b,

і отримуємо

Зверніть увагу, що періодичність по осі x – стояча, вона нікуди не біжить. Час входить тільки в той косинус і синус, в якому міститься координата z. Це означає, що накладення двох таких плоских хвиль породжує хвилю, що біжить строго уздовж осі z. Фазову швидкість цієї сумарної хвилі легко знайти з визначення:

v = ω/(k· Cosα) = c/ Cosα.

Зауважте, що фазова швидкість такої хвилі виявилася більшою за швидкість світла c.

Цей результат ніяк вже не залежить від орієнтації осі x і годиться для будь-якої пари хвиль з протилежними кутами φ з нашого сімейства. Тому, підсумувавши всі ці пари, ми належимо один на одного нескінченне число хвиль, що біжать уздовж осі z з однаковою швидкістю c/ Cosα. Таким чином, і повна сумарна хвиля теж біжить уздовж осі z з тієї ж надсвітовою фазової швидкістю.

У цій хвилі буде деякий нетривіальне розподіл в поперечній площині, яке, втім, буде володіти циліндричної симетрією (тобто воно не зміниться при повороті на будь-який кут навколо осі z). Але для нашої задачі це розподіл несуттєво.


Післямова

Перш за все, зауважимо, що немає нічого крамольного в тому, що фазова швидкість хвилі виявилася більшою за швидкість світла. Справа в тому, що окремі гребені в строго монохроматичному хвилі, які рухаються з фазової швидкістю, не переносять ні енергії, ні інформації.Їх може переносити певне перекручення на тлі монохроматичної хвилі, або ж модуляція хвилі, а вони вже переміщаються з груповий швидкістю. Групову швидкість можна порахувати і для цієї хвилі, і вона виявиться c· Cosα, що, в повній згоді з теорією відносності, менше "номінальною" швидкості світла.

Друге питання, яке може виникнути: а як розуміти відповідь при α = π / 2 (тобто при 90 °)? Косинус при цьому дорівнює нулю, і виходить, що фазова швидкість нескінченна! Так, саме так, і в цьому теж немає нічого протиприродного. При α = π / 2 всі плоскі хвилі біжать тільки в поперечній площині. Однак простягаються вони і вздовж осі z. Фаза хвилі взагалі перестає залежати від z, І виходить, що всі крапки з однаковими координатами x, y, Але з будь-якими z поводяться синхронно. Іншими словами, фаза коливань як би миттєво передається вздовж всієї осі z. Групова швидкість в цьому випадку дорівнює нулю. Це означає, що в цілому хвиля нікуди не біжить взагалі, а просто колишеться на місці. Це один із прикладів стоячій хвилі, правда з незвичайною поляризацією; нічого дивного в існуванні стоячих хвиль немає.

Третє питання стосується швидкості фотонів в цьому світловому пучку.Може виникнути відчуття, що раз світловий пучок в нашій задачі побудований з набору плоских хвиль, то і з квантової точки зору він складається з набору фотонів, кожен з яких летить в своєму напрямку зі швидкістю світла. Це не так. Якщо такий світловий пучок проквантовать, то кожен фотон в такому світловому полі буде нести всі характеристики повного пучка, як просторові, так і поляризаційні. Кожен фотон буде мати вигляд циліндричної радіально поляризованої хвилі, що біжить уздовж осі z з фазової і групової швидкостями, знайденими в цьому завданні. Той факт, що такі фотони летять у вакуумі зі швидкістю, відмінною від швидкості світла, знову ж нічого не порушує.

Подібні світлові пучки (з не дуже великим кутом α) не тільки реалізовані в експерименті, а й стали вже інструментом в прикладних дослідженнях. Радіально поляризоване світло цікавий тим, що строго на осі z (Тобто при x = 0 і y = 0) електричне поле в ньому поздовжньо, направлено теж по осі z (Це видно і з нашої формули). Фокусуючи такий світловий пучок, можна в фокусі отримати область сильного поздовжнього електричного поля і за допомогою нього вивчати, наприклад, орієнтацію молекул на поверхні. Детальніше про цей напрямок досліджень см.в новинах Радиально поляризоване світло: новий інструмент досліджень і Повний контроль над тривимірною поляризацією світла – можливий.

Більш того, експериментатори примудряються отримувати ще хитріші варіанти цього пучка, в яких початкові фази окремих плоских хвиль не фіксовані, а поступово змінюються з кутом φ. Головна особливість такого світлового пучка в тому, що він несе орбітальний кутовий момент щодо осі поширення (не плутати з круговою поляризацією!). Умовно кажучи, світловий пучок не просто летить вперед, але при цьому і крутиться; докладніше про цю характеристику світла см. тут.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: