Останні миті перед відривом краплі • Ігор Іванов • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Фізика

Останні миті перед відривом краплі

Кожен з нас бачив, як відривається і падає крапля води, що звисає з карниза або з кінця водопровідного крана. Можна помітити, що спочатку крапля тримається завдяки своїй колоколообразной формі, але коли розмір краплі виростає, сили поверхневого натягу вже не можуть її утримати. Краплю тягне вниз, між нею і опорою на якийсь час витягується перемичка, яка потім рветься. Аналогічні процеси відбуваються і в інших рідинах, і навіть при повільному випускання повітря з отвору під водою (рис. 1). Залежно від властивостей рідини і від оточуючих умов форма цієї перемички може бути різною, а її руйнування супроводжується різноманітними ефектами, які фізики продовжують відкривати і вивчати досі. Розповіді про багатьох з них можна прочитати в чудовій науково-популярній книжці Я. Е. Гегузін "Крапля".

Мал. 1. Повітря, повільно випускається під водою з отвору, формує бульбашка, який прагне спливти. У якийсь момент він вже не утримується на дні, починає спливати, між ним і дном виникає повітряна перемичка, яка потім рветься. Весь цей процес нагадує перевернутий відрив краплі води, включаючи самоподобна поведінку перемички в останні миті перед розривом.Малюнок зі статті N. C. Keim et al., 2006. Breakup of Air Bubbles in Water: Memory and Breakdown of Cylindrical Symmetry

У цьому завданні ми розглянемо один конкретний ефект – те, що відбувається з перемичкою в останні миті перед розривом. Виявляється, у багатьох ситуаціях ця перемичка поводиться характерним чином: вона хоч і тоншає, але зберігає загальну форму. Так виходить тому, що протягом рідини в околиці перемички, яке і призводить до її стоншення, стає самоподібним: Воно нагадує саме себе в більш ранній момент часу, тільки на іншому просторовому масштабі (рис. 2).

Мал. 2. Самоподобна потоншення перемички: у міру наближення до моменту розриву товщина перемички зменшується, але її форма залишається незмінною. Якщо взяти відповідні ділянки перемички в різні моменти часу (виділені прямокутники) І привести до одного масштабу, то вони виявляться однаковими

Така поведінка пояснюється тим, що в ці останні миті спрощуються закони, що керують рухом води. Взагалі кажучи, рух рідини, особливо з вільною поверхнею і в полі тяжіння, описується досить складними рівняннями. Воно залежить від дії принаймні трьох типів сил: сили тяжіння, капілярних ефектів (тобто поверхневого натягу) і в'язкості.Складний рух рідини, які ми зазвичай і спостерігаємо, виходить з-за того, що всі ці сили протиборствують один з одним. Але в міру наближення до розриву радіус перетяжки зменшується, капілярні ефекти різко посилюються і переважають над іншими, і ця єдина залишилася сила організовує самоподобна витікання води з перешийка. Таке самоподобна протягом призводить до збереження форми перемички.

завдання

Позначимо мінімальну товщину перемички в даний момент часу через d, А час, що залишився до розриву, через t. Нехай нам відомо, що процес стоншення перемички аж до розриву є самоподібним, як на рис. 2. Більш того, припустимо, що нам відомо, що перемичка тоншає за степеневим законом: d ~ t n. Обчисліть значення статечного показника n.


Підказка

Це завдання можна вирішити, навіть не дуже замислюючись над динаміку процесу. Вище було сказано, що в останні миті перед розривом найважливішою є сила поверхневого натягу, яка як би видавлює рідина з перешийка. Зіставляючи розмірності потрібних характеристик рідини, можна отримати шуканий результат.

Трохи більше чесний підхід – це уявити собі цей процес в динаміці: що на що тисне, що куди прискорюється. За умовою завдання, ніяких спотворень форми не відбувається, то є всі розміри перемички, все швидкості, все прискорення змінюються синхронним чином. Тому, якими б складними не здавалися протягом води і форма перешийка, розміри перемички і час до розриву вдається зв'язати один з одним.

Додаткові натяки і приклади обчислень на цю тему можна знайти в наших завданнях відскочив крапля і Фільм-катастрофа і теорія подібності.


Рішення

За умовою завдання, поведінка перемички самоподобна: воно зберігає форму і має статечної залежністю d ~ t n з невідомих поки показником n. Це означає, що не тільки товщина, а й всі інші відстані змінюються таким же чином. Твердження про самоподобу стосується не тільки форми, а й усіх течій рідини всередині перемички. Все швидкості повинні залежати від часу як u ~ t n – 1, А все прискорення – як a ~ t n – 2. Підкреслимо, що тут порівнюються швидкості або прискорення в однакових місцях перемички після масштабування (рис. 2). І ще одне невелике зауваження: оскільки нам потрібно стежити тільки за статечними залежностями величин,ми будемо опускати геометричні чисельні коефіцієнти, що виникають, наприклад, при обчисленні площ або обсягів.

Тепер звернемося до капілярних ефектів. Поверхневий натяг рідини призводить до того, що тиск води під викривленою поверхнею відрізняється від атмосферного. Залежність ця така: ΔP = σ/r, де σ – коефіцієнт поверхневого натягу, а r – радіус кривизни перемички, який в нашому випадку дорівнює d/ 2. Видно, що чим тонше перемичка, тим більше капілярний тиск створюється всередині неї, так що в міру наближення до розриву тиск зростає: ΔP ~ t -n.

Насправді, правильна формула для капілярного тиску містить два радіусу кривизни, оскільки двовимірна вільна поверхня може згинатися в обох напрямках. Це зауваження стає особливо важливим для поверхонь гіперболічної форми, коли в одному напрямку поверхня опукла, а в іншому – увігнута. Опуклість збільшує тиск усередині рідини, увігнутість – зменшує, і в виникає протиборстві двох ефектів перемагає той, у якого радіус кривизни менше. У нашій задачі ця небезпечна ситуація теж має місце, але тут перемагає саме додатковий тиск за рахунок радіуса перемички.Оскільки співвідношення між усіма розмірами залишається постійним, то залежність тиску від часу буде така ж, як і в виписаної формулою.

Додатковий тиск локалізовано в області з типовими розмірами порядку d (Рис. 3). Значить, що виникає при цьому сила F = ΔP·S ~ σd виштовхує обсяг рідини з масою m ~ ρd 3. Прискорення цього Об'емчик рідини виходить таким: a = F/m ~ σ/ρd 2. Для останнього кроку використовуємо все той же умова самоподібності. Отриманий вираз для прискорення повинно працювати в усі моменти часу, Поки працює самоподоба. Ліва частина цієї формули (прискорення) залежить від часу як t n − 2; права містить зворотний квадрат товщини перемички і тому залежить від часу як t −2n. Ці дві залежності повинні бути однаковими, Інакше течії спотворяться і форма перемички зміниться. Звідси отримуємо відповідь: n = 2/3.

Мал. 3. Підвищений капілярний тиск в найвужчому місці перемички виштовхує воду в сторони

Отже, при наближенні до моменту розриву товщина перемички зменшується як d ~ t 2/3, А значить, швидкості зростають як u ~ t −1/3. Чим ближче до розриву, тим швидше втекти із залишків перемички вода, але це швидка течія відноситься до все меншого об'єму води.Це також означає, що перед розривом рух настільки пришвидшується, що вже не важливо, як рухається вода на значній відстані від точки розриву і яка в неї там форма вільної поверхні. Динаміка розриву стає універсальним явищем, однаковим в самих різних умовах.


Післямова

Незважаючи на те що освіта крапель людині відомо з незапам'ятних часів, перші серйозні дослідження почалися тільки в XIX столітті. Лише тоді було зрозуміло, наприклад, що струмінь мимовільно розбивається на краплі під дією сил поверхневого натягу. Однак простежити за водної перемичкою при відриві краплі тоді було неможливо, оскільки цей процес відбувається дуже швидко.

Протягом усього XX століття поступово накопичувалася експериментальна база знань про цей процес. Однак серйозна теорія опису відриву крапель і розриву перемички почала розвиватися тільки в 1980-і роки. Важливу роль тут зіграла стаття 1983 року Surface Tension Driven Flows, опублікована в математичному журналі. Вона вперше переконливо показала, що самоподібні рішення рівнянь, вже добре відомі на той час по різних розділах фізики, слід очікувати і для цього процесу. Ця стаття дала новий поштовх до експериментальних досліджень.Так, в статті 1990 року, зокрема, було підкреслено, що та форма перемички і той закон самоподібності, які використовувалися в математичної статті 1983 (і на які спиралася наша задача!), Є занадто спрощеними. Реальні краплі, особливо для в'язких рідин, відриваються інакше (див. Рис. 4-6).

Мал. 4. Зліва: спрощений погляд на форму краплі в момент відриву; наше завдання спирається на таке бачення. справа: реальна форма краплі в момент відриву. Малюнок зі статті D. H. Peregrine, G. Shoker, A. Symon, 1990. The bifurcation of liquid bridges

Мал. 5. Етапи відриву реальної водної краплі; час між кадрами становить 0,1 с. Зображення зі статті X. D. Shi, M. P. Brenner, S. R. Nagel, 1994. A Cascade of Structure in a Drop Falling from a Faucet

Мал. 6. Відрив краплі в'язкою водно-гліцеринової суміші з характерною подвійний перемичкою: в нижній частині вузького циліндричного перешийка виникає ще більш вузький другий перешийок. Зображення зі статті X. D. Shi, M. P. Brenner, S. R. Nagel, 1994. A Cascade of Structure in a Drop Falling from a Faucet

У світлі цих результатів може здатися, що початкові теоретичні міркування про самоподобу руху втрачають сенс. Але це не так. І більш акуратна теорія, і експерименти підтверджують самоподоба. Але тільки вона, по-перше, працює для не надто в'язких рідин, а по-друге, стає трохи складніше, ніж первісне наївне уявлення. Вимірювання показали, що закон d ~ t 2/3 працює і для реальних рідин і в окремих випадках простежується аж до нанометрових масштабів (рис. 7).

Мал. 7. Товщина ртутної перемички між двома електродами в залежності від часу до розриву. В експерименті вимірювався електричний опір ртутного містка, з якого потім витягувався діаметр перешийка. Отриманий тут показник статечної залежності 0,661 разюче близький до нашого значенням 2/3. Графік зі статті J. C. Burton, J. E. Rutledge and P. Taborek, 2004. Fluid Pinch-Off Dynamics at Nanometer Length Scales

Універсальність розриву рідкої перемички стала вже таким звичним фактом, що останнім часом викликають подив випадки явного порушення універсальності, особливо коли їх не можна списати на в'язкість або інші сили. Один приклад такого ефекту обговорювалося в нашій новині Виявлено ефект пам'яті в поведінці бульбашок повітря під водою. Загалом, фізики продовжують відкривати нові грані цього цікавого процесу.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: