Найважчий білий карлик • Айк Акопян • Науково-популярні завдання на "Елементи" • Астрономія

Найважчий білий карлик

В кінці свого життєвого шляху зірки головної послідовності витрачають більшу частину свого запасу водню, через що внутрішній тиск втрачає здатність утримувати гравітаційне стиснення оболонки (див. Задачу Головна послідовність). Для зірок з масами до 8 мас Сонця результатів в такій ситуації може бути два. У першому випадку ядро ​​може сколлапсіровать до того моменту, коли тиск квантово вироджених електронів зупинить колапс, перетворивши ядро ​​в білий карлик. У другому випадку, якщо навіть тиск вироджених електронів не зможе зупинити колапс через велику гравітації речовини, то ядро ​​стиснеться ще далі, поки при високих температурах і тисках квантово виродяться нейтрони, тиск яких вже збалансує колапс, – утворюється нейтронна зірка.

Мал. 1. Цикл життя зірки. Через випадкових флуктуацій в газопиловій хмарі можуть утворюватися згущення речовини, які поступово збільшуються в розмірах. Так з'являються глобули. Якщо маси глобули вистачає для гравітаційного стиснення, то в ній може початися процес утворення зірки. В кінці життя зірка головної послідовності перетворюється на червоного гіганта, подальша доля (точніше, смерть) якого визначається масою.Недостатньо масивні зірки коллапсируют в нейтронну зірку або білий карлик, а найважчі не зупиняються і коллапсируют далі, в чорну діру. Малюнок з сайту futurism.com

У цьому завданні пропонується з перших принципів визначити, який може бути максимальна маса білого карлика. Для цього згадаємо, що енергія зірки визначається сумою теплової і гравітаційної енергії

\ [E _ {\ rm tot} = E _ {\ rm T} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

У разі білого карлика, так як все що протидіє гравітації тиск визначається виродженими електронами, ET – це теплова енергія електронів.

Енергія релятивістської частинки записується так:

\ [E = \ sqrt {m ^ 2c ^ 4 + p ^ 2c ^ 2}, \]

де m – маса частинки, p – її імпульс. При цьому для нерелятивистской (повільної) частки E = mc2, Як і повинно бути (кінетична енергія враховується в наступному порядку по розкладанню), а для ультрарелятивістською частки (швидкої, у якій кінетична енергія багато більше енергії спокою), маємо E = pc.

Будемо вважати, що всі електрони в такому критично важкому білому карлику – ультрарелятивістських, тобто для них Ee = pec. Тоді повна теплова енергія електронів буде дорівнює ET = Npec, де N – число електронів, а pe – якесь середнє значення імпульсу кожного з них.

Для оцінки середнього імпульсу скористаємося тим, що всі електрони вироджені. Для вироджених електронів, так само як і для будь-яких частинок з напівцілим значенням спина, діє принцип заборони Паулі. Два електрона з однаково спрямованими спинами не можуть займати одне і те ж стан.

Щоб зрозуміти, що це означає, потрібно представити так зване фазовий простір для випадку, коли є тільки одна просторова координата x. Це простір – координатна площина з осями px і x. Точка \ ((p_x ^ 0 {,} ~ x ^ 0) \) в такому просторі позначає частку з імпульсом \ (p_x ^ 0 \), що знаходиться в точці \ (x ^ 0 \) (рис. 2). Для трьох просторових вимірів фазовий простір буде шестімерной і намалювати його вже важко.

Мал. 2. Фазовий простір в разі однієї просторової координати x. Точка в такому просторі зображує частку з певною координатою і певним імпульсом

Коли мова йде про квантово вироджених частинках, таке фазовий простір розбито на осередки, кожна з яких, відповідно до принципу невизначеності Гейзенберга, має обсяг \ (\ Delta p \ Delta x \ sim \ hbar \) (рис. 3). У таку квантову осередок можна "покласти" лише два електрона (з протилежними спинами),а іншим електронам доведеться тіснитися вже в сусідніх осередках.

Мал. 3. Фазовий простір для однієї просторової координати. У разі квантово вироджених частинок обсяг мінімальної осередку становить \ (\ hbar \) (в тривимірному випадку, як неважко здогадатися, він дорівнює \ (\ hbar ^ 3 \))

Таким чином, в просторі імпульсів (частина повного фазового простору), електрони будуть займати все осередки (по двоє) до якогось певного імпульсу, який називається імпульсом Фермі pF. Вище цього імпульсу електронів більше просто немає, а нижче зайняті всі осередки по два електрона (рис. 4). Таким чином, середнім (або характерним) імпульсом електронів буде якраз pF/2.

Мал. 4. Тривимірний простір імпульсів. Всі частинки з напівцілим спіном займають клітини, імпульс яких становить менше імпульсу Фермі. Такі осередки утворюють своєрідну «сферу»

Таким чином, повне число електронів N одно повного фазового обсягу (в шестивимірному просторі), розділеному на обсяг однієї такої комірки:

\ [N = 2 \ frac {\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Коефіцієнт 2 виник через можливість вмістити два електрона в клітинку, \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \) – це розмір одного осередку, а \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \) – це повний фазовий об'єм.

завдання

1) Прийнявши, що ядро ​​зірки електронейтральних і в основному складається з водню, опустивши всі чисельні коефіцієнти, знайдіть граничну масу білого карлика (масу Чандрасекара). Висловіть її в масах Сонця.
2) Вважаючи електрони нерелятивістському, знайдіть залежність максимального радіуса білого карлика від його маси.


Підказка 1

Так як речовина зірки електронейтральних, можна легко зв'язати масу зірки і число електронів.


Підказка 2

Подумайте, за якої умови на повну енергію зірка буде стабільна. При якій масі (або радіусі, якщо мова про другу частину завдання) ця умова порушується? Врахуйте, що в першому випадку відповідь має вийти незалежних від радіуса.


Рішення

По-перше, тому що зірка в цілому електронейтральна, число електронів приблизно повинна дорівнювати числу протонів (насправді, звичайно ж, це залежить від складу, але ми опустимо чисельні коефіцієнти). Так як в масу зірки вносять вклад в основному протони, то число протонів (також, як і число електронів) буде дорівнювати N = M/mp.

Ці електрони потрібно "щільно упакувати" за принципом Паулі в елементарні осередки в шестивимірному фазовому просторі.Іншими словами, повне число електронів має дорівнювати повному фазового обсягу, поділеному на обсяг елементарної комірки (з коефіцієнтом 2, але його ми опустимо)

\ [N \ sim \ frac {(\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z) (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z)} {(\ Delta x \ Delta y \ Delta z) (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z)} = \ frac {V (\ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta P_z)} {\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z}. \]

Обсяг однієї елементарної комірки \ (\ Delta x \ Delta y \ Delta z \ Delta p_x \ Delta p_y \ Delta p_z \ sim \ hbar ^ 3 \), просторовий обсяг \ (\ Delta X \ Delta Y \ Delta Z \ sim R ^ 3 \), а "обсяг", яку він обіймав частками в просторі імпульсів, як уже зазначалося вище, дорівнює \ (\ Delta P_x \ Delta P_y \ Delta P_z \ sim p_F ^ 3 \). Таким чином, маємо

\ [\ Frac {M} {m_p} \ sim \ frac {R ^ 3 p_F ^ 3} {\ hbar ^ 3}, \]

звідки знаходимо, що

\ [P_F \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {R m_p ^ {1/3}}. \]

Як вже зазначалося вище, електрони будуть мати всі можливі імпульси до граничного імпульсу Фермі pF, Через що в якості характерного (середнього) значення можна взяти саме його. Повна енергія тоді запишеться у вигляді

\ [E _ {\ rm tot} \ sim N c p_F- \ frac {GM ^ 2} {R} \ sim \ frac % {R} \ left (\ frac {c \ hbar M ^ {4/3} } {m_p ^ {4/3}} – GM ^ 2 \ right). \]

Зверніть увагу, що повна енергія зірки, фактично, залежить від двох параметрів – маси M і радіусу R, При цьому лише маса визначає її знак. величина

\ [M _ {\ rm Ch} \ sim \ frac % {m_p ^ 2} \ left (\ frac {c \ hbar} {G} \ right) ^ {3/2} \ sim 1 {,} 86 ~ M_ {Sun}, \]

яка також називається масою Чандрасекара, є граничною між негативною і позитивною повною енергією. Більш точний підрахунок з реалістичним хімічним складом дає значення \ (M _ {\ rm Ch} = 1 {,} 46 ~ M_ {Sun} \).

При \ (M> M _ {\ rm Ch} \) повна енергія зірки негативна і пропорційна 1 /R, Що означає, що менші значення R забезпечуватимуть більш стабільне стан зірки, до чого вона і буде прагнути. Це означає "нескінченний" колапс в сторону меншого радіуса. Тому якщо ядро ​​більше цієї граничної маси – воно буде коллапсировать далі.

Однак, проблема в тому, що при \ (M <M _ {\ rm Ch} \) повна енергія позитивна, а це, як відомо, означає розліт системи, тобто збільшення радіусу (щоб мінімізувати Etot). Однак зауважте, що \ (p_F \ propto 1 / R \), – імпульс Фермі буде зменшуватися в міру збільшення радіусу.

У рішенні ми припускали, що частки ультрарелятивістських і для них \ (p_F c \ gg m_e c ^ 2 \), проте це припущення може порушитися при досить малому \ (p_F \ sim m_e c \), тобто при R > R0, де

\ [R_0 \ sim \ frac {\ hbar M ^ {1/3}} {m_p ^ {1/3} m_e c}. \]

Тоді потрібно користуватися іншою формулою для теплової енергії, а саме \ (E _ {\ rm T} = p_F ^ 2 / 2m_e \), що дасть нам для повної енергії вираз

\ [E _ {\ rm tot} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2 M ^ {5/3}} {m_p ^ {5/3} m_e R ^ 2} – \ frac {GM ^ 2} {R}. \]

Залежність повної енергії від радіуса показана на рис. 5. Як видно, існує стабільний (Etot <0) мінімум при R = RWD, До якого і буде прагнути система.

Мал. 5. Графік залежності повної енергії білого карлика від радіуса (\ (MR < R0 електрони ультрарелятивістських і залежність обернено пропорційна радіусу. при R > R0 залежність трохи складніша і має мінімум енергії. Графік з книги В. С. Бескин Квантова механіка і астрофізика

Можна легко знайти цей мінімум (так як Etot є квадратним Двочленні щодо 1 / R):

\ [R _ {\ rm WD} \ sim \ frac {\ hbar ^ 2} {Gm_p ^ {5/3} m_e M ^ {1/3}}. \]

Якщо підставити замість маси масу Чандрасекара, отримаємо щось в дусі 5000 км, тобто зірку сонячної маси розміром з Землю.


Післямова

Природно такий тривіальний аналіз "на пальцях" не претендує на точне кількісне опис. Однак, як не дивно, якісно і навіть кількісно по порядку величини відповіді виходять вірними. Адже, дійсно, при колапсі ядра в якийсь момент "включається" квантова вирожденність електронів.

Якщо маса ядра більше межі Чандрасекара, це тиск ультрарелятивістських вироджених електронів здатне зупинити стиск, і зірка буде коллапсировать далі в нейтронну зірку. В іншому випадку встановиться певний баланс між тиском вироджених нерелятівістскіх електронів і гравітацією, при якому буде реалізовуватися мінімум повної енергії.

Гранична маса Чандрасекара має дуже важливе практичне значення.Наднові першого типу (Ia) виникають в подвійних аккрецируют системах, де речовина з масивної зірки-компаньйона перетікає на сусідній білий карлик. Симуляція такого процесу показана на відео:

Через натік речовини маса білого карлика збільшується і в якийсь момент може перевершити межа Чандрасекара. Тоді починається подальший колапс, і система вибухає по типу наднової Ia. Через те, що ми в точності знаємо при якій масі відбувається цей вибух (1,44-1,46 мас Сонця в залежності від складу і інших чинників), можна передбачити енергетику і тривалість вибуху.

Знаючи енергію і тривалість теоретично, можна з високою точністю визначити відстань до вибухає наднової. Це робить наднові типу Ia так званими "стандартними свічками", параметри яких нам відомі заздалегідь. Зокрема, за допомогою аналізу дуже далеких вибухів наднових Ia в кінці XX століття було показано, що наш Всесвіт розширюється з прискоренням.

На початку передмови ми згадали, що другий "кордон" до чорної діри для колапсуючої зірки – це нейтронна зірка. У ній вже тиск вироджених нейтронів (теж частинки з напівцілим спіном) зупиняє гравітаційне стиснення зірки.Так само, як і в випадку з білими карликами, нейтронні зірки мають граничну масу, звану межею Толман-Оппенгеймера-Волкова, ТОВ (Tolman-Oppenheimer-Volkoff limit).

Висновок цього значення, однак, вимагає врахування ефектів загальної теорії відносності, так як розміри такої системи (порядку 10 км) можна порівняти з розмірами шварцшільдовскім горизонту подій для об'єкта сонячної маси (\ (2GM / c ^ 2 \ sim 3 \) км). Крім цього, при таких великих щільності (щільність нейтронної зірки ближче до центру перевершує щільність атомного ядра) потрібен дуже точний облік сильних взаємодій між нуклонами. Це багато в чому ускладнює підрахунок граничної маси ТОВ, але вважається, що реальне значення знаходиться десь між 1,5 і 3 масами Сонця.


Like this post? Please share to your friends:
Залишити відповідь

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: